Question

【題目】如圖，四邊形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，AD=1，BC=3，E是邊CD的中點(diǎn)，連接BE并延長與AD的延長線相交于點(diǎn)F．

（1）求證：四邊形BDFC是平行四邊形；

（2）若△BCD是等腰三角形，求四邊形BDFC的面積．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】（1）證明：∵∠A=∠ABC=90°，

∴BC∥AD，

∴∠CBE=∠DFE，

在△BEC與△FED中，

，

∴△BEC≌△FED，

∴BE=FE，

又∵E是邊CD的中點(diǎn)，

∴CE=DE，

∴四邊形BDFC是平行四邊形；

（2）①BC=BD=3時(shí)，由勾股定理得，AB===2，

所以，四邊形BDFC的面積=3×2=6；

②BC=CD=3時(shí)，過點(diǎn)C作CG⊥AF于G，則四邊形AGCB是矩形，

所以，AG=BC=3，

所以，DG=AG﹣AD=3﹣1=2，

由勾股定理得，CG===，

所以，四邊形BDFC的面積=3×=3；

③BD=CD時(shí)，BC邊上的中線應(yīng)該與BC垂直，從而得到BC=2AD=2，矛盾，此時(shí)不成立；

綜上所述，四邊形BDFC的面積是6或3．