精英家教網(wǎng)如圖,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,直角∠EPF的頂點P是BC的中點,兩邊PE,PF分別交AB,AC于點E,F(xiàn),現(xiàn)給出以下四個結(jié)論:
(1)AE=CF;
(2)△EPF是等腰直角三角形;
(3)S四邊形AEPF=
1
2
S△ABC;
(4)EF=AP.當∠EPF在△ABC內(nèi)繞頂點P旋轉(zhuǎn)時(點E不與A,B重合),上述結(jié)論中是正確的結(jié)論的概率是( 。
A、1個
B、3個
C、
1
4
D、
3
4
分析:根據(jù)題意,容易證明△AEP≌△CFP,然后能推理得到選項A,B,C都是正確的,選項D不正確.從而求出正確的結(jié)論的概率.
解答:解:∵AB=AC,∠BAC=90°,點P是BC的中點,∴∠EAP=
1
2
∠BAC=45°,AP=
1
2
BC=CP.
(1)在△AEP與△CFP中,∵∠EAP=∠C=45°,AP=CP,∠APE=∠CPF=90°-∠APF,∴△AEP≌△CFP.正確;
(2)由(1)知,△AEP≌△CFP,∴PE=PF.又∵∠EPF=90°,∴△EPF是等腰直角三角形.正確;
(3)∵△AEP≌△CFP,同理可證△APF≌△BPE.∴S四邊形AEPF=S△AEP+S△APF=S△CPF+S△BPE=
1
2
S△ABC.正確;
(4)不能得出EF=AP,錯誤.
故正確的結(jié)論的概率是
3
4

故選D.
點評:用到的知識點為:概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比;解決本題的關鍵是利用證明三角形全等的方法來得到正確結(jié)論.
練習冊系列答案
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20、如圖,在△ABC中,∠BAC=45°,現(xiàn)將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)30°至△ADE的位置,使AC⊥DE,則∠B=
75
度.

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(  )
A、
1
2
B、(
2
2
7
C、
1
4
D、
1
8

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2、如圖,在△ABC中,DE∥BC,那么圖中與∠1相等的角是( 。

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度.

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14、如圖,在△ABC中,AB=BC,邊BC的垂直平分線分別交AB、BC于點E、D,若BC=10,AC=6cm,則△ACE的周長是
16
cm.

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