Question

如圖，圓O與直角三角形ABC的邊AB，AC相切于D、E，已知∠BAC=60°，AB=4cm，圓O的半徑為1cm，則AD=________cm；若圓O在三角形內沿內壁以每秒1cm的速度勻速滾動，則滾動一周所用的時間是________秒．

Answer 1

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分析：（1）連接OA和OD，根據切線的性質可知：OD⊥OA．在Rt△AOD中，利用三角函數定義可求AD的長；
（2）通過⊙O與Rt△ABC各邊相切，可將⊙O所滾動的路線求出．
解答：解：（1）連接OA，OD．
∵圓O與直角三角形ABC的邊AB，AC相切于點D、點E，
∴∠OAD=∠BAC=30°．
∵OD=1，
∴AD=cot30°×OD=；
（2）連接CO₁，NO₁
在Rt△ABC中，BC=，AC=8，
⊙O在Rt△ABC中所滾動的路線為Rt△OO₁O₂的周長．
∵AB=4，AD=，BP=1，
∴OO₂=4-1-=3-．
∵CN=cot（∠C）×NO₁=cot15°×1=2+，BC=，
∴O₁O₂=-（2+）-1=-3．
∴OO₁=8-（2+）-=6-．
∴Rt△OO₁O₂的周長為6-+-3+3-=6．
∴⊙O滾動一周所用的時間為=6秒．
點評：在解決本題時應將圓所滾動的運動軌跡求出．本題中涉及到了切線的性質，解直角三角形和勾股定理的運用．