Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙C的半徑為r（r＞1），P是圓內(nèi)與圓心C不重合的點(diǎn)，⊙C的“完美點(diǎn)”的定義如下：若直線CP與⊙C交于點(diǎn)A，B，滿足|PA－PB|=2，則稱點(diǎn)P為⊙C的“完美點(diǎn)”，如圖為⊙C及其“完美點(diǎn)”P的示意圖．

（1）當(dāng)⊙O的半徑為2時(shí)，

①點(diǎn)M（，0）　　⊙O的“完美點(diǎn)”，點(diǎn)N（0，1）　　⊙O的“完美點(diǎn)”，點(diǎn)T（－，－ ）　　⊙O的“完美點(diǎn)”（填“是”或者“不是”）；

②若⊙O的“完美點(diǎn)”P在直線y=x上，求PO的長及點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（2）⊙C的圓心在直線y=x+1上，半徑為2，若y軸上存在⊙C的“完美點(diǎn)”，求圓心C的縱坐標(biāo)t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）①點(diǎn)M不是⊙O的“完美點(diǎn)”，點(diǎn)N是⊙O的“完美點(diǎn)”．點(diǎn)T是⊙O的“完美點(diǎn)”．

②OP=1，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（， ）或（， ）．（2）1≤t≤1+ ．

【解析】解：（1）點(diǎn)M不是⊙O的“完美點(diǎn)”，

點(diǎn)N是⊙O的“完美點(diǎn)”．

點(diǎn)T是⊙O的“完美點(diǎn)”．

②根據(jù)題意，|PAPB|=2，

∴|OP+2（2OP）|=2∴OP=1．

若點(diǎn)P在第一象限內(nèi)，作PQ⊥x軸于點(diǎn)Q，∵點(diǎn)P在直線上，OP=1，

∴OQ=，PQ=．∴P（， ）．

若點(diǎn)P在第三象限內(nèi)，根據(jù)對稱性可知其坐標(biāo)為（ ， ）．

綜上所述，PO的長為1，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（， ）或（ ， ）．

（2）對于⊙C的任意一個(gè)“完美點(diǎn)”P都有|PA﹣PB|=2，

∴|CP+2（2CP）|=2．∴CP=1．

∴對于任意的點(diǎn)P，滿足CP=1，都有|CP+2（2CP）|=2，

∴|PA﹣PB|=2，故此時(shí)點(diǎn)P為⊙C的“完美點(diǎn)”．因此，⊙C的“完美點(diǎn)”是以點(diǎn)C為圓心，1為半徑的圓．

設(shè)直線與y軸交于點(diǎn)D，當(dāng)⊙C移動到與y軸相切且切點(diǎn)在點(diǎn)D的下方時(shí)，t的值最小．

設(shè)切點(diǎn)為E，連接CE，∵⊙C的圓心在直線y=x+1上，∴此直線和x軸，y軸的交點(diǎn)C（0，1），F(xiàn)（﹣，0），∴OF=，OD=1，∵CE∥OF，∴△DOF∽△DEC，∴，∴，∴DE=．t的最小值為1 ．當(dāng)⊙C移動到與y軸相切且切點(diǎn)在點(diǎn)D的上方時(shí)，t的值最大．

同理可得t的最大值為1+．綜上所述，t的取值范圍為1 ≤t≤1+