Question

如圖，矩形ABCD中，AB長(zhǎng)為6厘米，BC長(zhǎng)為12厘米，點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AB邊向點(diǎn)B以1厘米/秒的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿BC邊向點(diǎn)C以2厘米/秒的速度移動(dòng)．P、Q兩點(diǎn)分別從A、B兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．
（1）用含t的代數(shù)式表示PB的長(zhǎng)．
（2）當(dāng)△PBQ的面積等于9平方厘米時(shí)，求t的值．
（3）連結(jié)AC，當(dāng)△PBQ與△ABC相似時(shí)，求t的值．
（4）連結(jié)BD交PQ于E，直接寫出△PBQ與△PBE相似時(shí)t的值．

Answer 1

分析：（1）由已知可得PA=t，則可用含t的代數(shù)式表示PB的長(zhǎng)．
（2）首先根據(jù)題意表示出PB與BQ的長(zhǎng)，繼而由△PBQ的面積等于9平方厘米，可求得t的值．
（3）分別從當(dāng)△PBQ∽△ABC時(shí)與當(dāng)△PBQ∽△CBA時(shí)，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求得答案；
（4）易得△PBQ∽△PEB，可得BE⊥BD，即可得△PEB∽△DAB，繼而證得△PBQ∽△DAB，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，求得答案．

解答：解：（1）∵點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AB邊向點(diǎn)B以1厘米/秒的速度移動(dòng)，
∴PA=t（cm），
∴PB=AB-PA=6-t（cm）；

（2）∵BQ=2t（cm），PB=（6-t）cm，
∴S_△PBQ=

1

2

PB•BQ=

1

2

×（6-t）×2t=9，
解得：t₁=t₂=3；

（3）∵當(dāng)△PBQ∽△ABC時(shí)，

PB

AB

=

BQ

BC

，
即

6-t

6

=

2t

12

，t=3；
當(dāng)△PBQ∽△CBA時(shí)，

PB

BC

=

BQ

AB

，
即

6-t

12

=

2t

6

，t=

6

5

；
∴當(dāng)△PBQ與△ABC相似時(shí)，t的值為：3或

6

5

．

（4）∵∠BPQ是公共角，∠PBE=∠PBQ，
∴△PBQ∽△PEB，
∴BE⊥BD，
∴△PEB∽△DAB，
∴△PBQ∽△DAB，
∴

PB

AD

=

BQ

AB

，
即

6-t

12

=

2t

6

，t=

6

5

．
∴△PBQ與△PBE相似時(shí)t的值為：

6

5

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及矩形的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．