25、如圖,已知菱形ADEF和等腰三角形ABC,AB=AC,∠BAC=54°,點B、C分別在DE、EF.(B、C分別不與E、F重合)
(1)如圖1,當AE平分∠BAC時,
①求證:BD=CF;
②當AD=AB時,求∠ABD的度數(shù);
(2)如圖2,當AE不平分∠BAC時,若△ADB是一個等腰三角形,求∠ABD的度數(shù).
分析:(1)由AE平分∠BAC,AB=AC,AE=AE,易證△ABE≌△ACE,則BE=CE,又四邊形ADEF是菱形,可得DE=EF,即可得證;
(2)過點A作AM⊥DE于點M,AN⊥EF于點N,由AE平分∠DEF得AM=AN,可證Rt△AMB≌Rt△ANC(HL),則∠MAB=∠NAC,∠MAN=∠BAC;根據(jù)等角的補角相等可得,∠D=∠MAN=∠BAC=54°,最后要分三種情況討論求解:Ⅰ.當BD=BA時;Ⅱ.當AD=AB時;Ⅲ.因為DA不可能等于DB,所以第三種情況不存在.
解答:解:(1)①證明:∵AE平分∠BAC,
∴∠BAE=∠CAE,
又∵AB=AC,AE=AE,
∴△ABE≌△ACE(2分)
∴BE=CE,
∵四邊形ADEF是菱形,
∴DE=EF
∴DB=CF(5分)
②當AD=AB時,設∠D=x°,得∠FAC=∠DAB=(180-2x)°(6分)
由AF∥DE得∴x+2(180-2x)+54=180
解得x=78∴∠ABD=78°(9分)

(2)過點A作AM⊥DE于點M,AN⊥EF于點N,由AE平分∠DEF得AM=AN,
又∵AB=AC
∴Rt△AMB≌Rt△ANC
∴∠MAB=∠NAC
∴∠MAN=∠BAC
又∵∠MAN+∠MEN=180°,∠D+∠MEN=180°
∴∠D=∠MAN=∠BAC=54°(11分)
若△ADB是一個等腰三角形,下面分三種情況討論:
Ⅰ.當BD=BA時,得∠D=∠DAB=54°
解得∠ABD=72°(12分)
Ⅱ.當AD=AB時,得∠ABD=∠D=54°,
由∠BAC=54°得AC∥DE
∴AC與AF重合,這與AC與AF不重合矛盾
∴此種情況不存在.
Ⅲ.因為DA不可能等于DB,所以第三種情況不存在.
綜上所述:當△ADB是一個等腰三角形時,∠ABD的度數(shù)等于72°(13分)
點評:本題主要考查菱形的性質(zhì),同時綜合利用全等三角形的判定方法及等腰三角形的性質(zhì),注意題意中的“△ADB是一個等腰三角形”,哪兩條邊是腰,應該分情況討論.
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EF
的長度等于
3
3
.(結(jié)果保留π)

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(1)試用含t的式子表示AE、AD的長;
(2)如圖①,在D、E運動的過程中,四邊形AEFD是平行四邊形,請說明理由;
(3)連接DE,當t為何值時,△DEF為直角三角形?
(4)如圖②,將△ADE沿DE翻折得到△A′DE,試問當t為何值時,四邊形 AEA′D為菱形?并判斷此時點A是否在BC上?請說明理由.

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(1)如圖①,在D、E運動的過程中,四邊形AEFD是平行四邊形,請說明理由;
(2)連接DE,當t為何值時,△DEF為直角三角形?
(3)如圖②,將△ADE沿DE翻折得到△A′DE,試問當t為何值時,四邊形 AEA′D為菱形?

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