Question

（2003•南寧）如圖所示，已知A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（28，0）和（0，28）．動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)開(kāi)始在線段AO上以每秒3個(gè)單位的速度向原點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，動(dòng)直線EF從x軸開(kāi)始每秒1個(gè)單位的速度向上平行移動(dòng)（即EF∥x軸），并且分別與y軸，線段AB交于E，F(xiàn)點(diǎn)，連接FP，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P與動(dòng)直線EF同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）當(dāng)t=1秒時(shí)，求梯形OPFE的面積，當(dāng)t為何值時(shí)，梯形OPFE的面積最大，最大面積是多少？
（2）當(dāng)梯形OPFE的面積等于三角形APF的面積時(shí)，求線段PF的長(zhǎng)；
（3）設(shè)t的值分別取t₁，t₂時(shí)（t₁≠t₂），所對(duì)應(yīng)的三角形分別為△AF₁P₁和△AF₂P₂．試判斷這兩個(gè)三角形是否相似，請(qǐng)證明你的判斷．

Answer 1

【答案】分析：（1）要求梯形的面積就要知道兩底和高的值，根據(jù)動(dòng)直線的速度，可以用時(shí)間表示出OE的長(zhǎng)，也就表示出了梯形的高，根據(jù)P的速度可用時(shí)間t表示出AP，然后根據(jù)AO的長(zhǎng)得出OP的長(zhǎng)，現(xiàn)在關(guān)鍵是底EF的長(zhǎng)，由于△AOB是個(gè)等腰直角三角形，那么△BEF也應(yīng)該是個(gè)等腰直角三角形，那么BE=EF，有了OB，OE的長(zhǎng)，就可以表示出BE，EF的長(zhǎng)，這樣可根據(jù)梯形的面積公式求出梯形的面積，也就求出了梯形的面積與t的函數(shù)關(guān)系式，就能求出當(dāng)t=1時(shí)梯形的面積，也能求出梯形的最大面積以及對(duì)應(yīng)的t的值；
（2）三角形的面積就是AP•OE÷2，由于（1）中我們得出了梯形的面積與t的函數(shù)式，當(dāng)梯形的面積與三角形的面積相等時(shí)，那么這兩個(gè)式子就相等，可求出此時(shí)時(shí)間的值．有了時(shí)間的直角就求出了OE，PA的值，可通過(guò)F引OA的垂線，用直角三角形和勾股定理求出PF的長(zhǎng)；
（3）當(dāng)時(shí)間不同時(shí)，AP₁：AP₂=t₁：t₂，而此時(shí)AF₁：AF₂也正好是t₁：t₂，那么這兩條線段對(duì)應(yīng)成比例而兩三角形又共用了這里兩組對(duì)應(yīng)線段的夾角，故兩三角形相似．
解答：解：（1）S_梯形OPFE=（OP+EF）•OE=（25+27）×1=26．
設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒時(shí)，梯形OPFE的面積為y，
則y=（28-3t+28-t）t=-2t²+28t=-2（t-7）²+98，
所以當(dāng)t=7秒時(shí)，梯形OPFE的面積最大，最大面積為98；

（2）當(dāng)S_梯形OPFE=S_△APF時(shí)，
-2t²+28t=，解得t₁=8，t₂=0（舍去）．
當(dāng)t=8秒時(shí)，F(xiàn)P=8；

（3）由，
且∠OAB=∠OAB，
可證得△AF₁P₁∽△AF₂P₂．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了梯形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，二次函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)直角三角形的各特殊角得出線段間的大小關(guān)系是解題的關(guān)鍵．