Question

若一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x₁，x₂．
（1）利用配方法求出求根公式；
（2）用求根公式求證：x1+x2=-

b

a

，x1•x2=

c

a

；
（3）設(shè)方程

1

2

x2-7x+3=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x₁，x₂，利用（2）的結(jié)論，不解方程求：①x₁²+x₂²；②

1

x 2 1

+

1

x 2 2

．

Answer 1

分析：（1）由a不為0，在方程兩邊同時(shí)除以a，把二次項(xiàng)系數(shù)化為1，然后把常數(shù)項(xiàng)移項(xiàng)到方程右邊，兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方即(

b

2a

)2，左邊變?yōu)橥耆�平方式，右邊大于等�?時(shí)，開(kāi)方即可得到求根公式；
（2）由求根公式求出的兩個(gè)根相加、相乘，化簡(jiǎn)后即可得證；
（3）找出原方程的a，b及c的值，計(jì)算出b²-4ac，其值大于0，故方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，根據(jù)（2）的結(jié)論求出兩根之和與兩根之積，
①把原式配方后變?yōu)殛P(guān)于兩個(gè)根相加及相乘的形式，把求出的兩個(gè)之和與兩根之積代入即可求出值；
②把原式通分后分子利用①求出的結(jié)果整體代入，分母變?yōu)閮筛�之積的平方，將兩根之積代入，即可求出值．

解答：解：（1）ax²+bx+c=0（a≠0）
∵a≠0，∴兩邊同時(shí)除以a得：
二次項(xiàng)系數(shù)化為“1”得：x²+

b

a

x+

c

a

=0
移項(xiàng)得：x²+

b

a

x=-

c

a

配方得：x²+2•x•

b

2a

+( 

b

2a

)2=( 

b

2a

)2-

c

a

(x+ 

b

2a

) 2=

b2-4ac

4 a2

∵a≠0，∴4a²＞0
當(dāng)b²-4ac≥0時(shí)，直接開(kāi)平方得：
x+

b

2a

=

±  b2-4ac

2a

∴x=

-b±  b2-4ac

2a

，
∴x₁=

-b+ b2-4ac

2a

，x₂=

-b- b2-4ac

2a

；

（2）對(duì)于方程：ax²+bx+c=0（a≠0，且a，b，c是常數(shù)），
當(dāng)△≥0時(shí)，利用求根公式，得
x₁=

-b

2a

+

b2-4ac

2a

，x₂=

-b

2a

-

b2-4ac

2a

．
∵x₁+x₂=

-b

2a

+

b2-4ac

2a

+

-b

2a

-

b2-4ac

2a

=-

b

a

，
x₁x₂=（

-b

2a

+

b2-4ac

2a

）•（

-b

2a

-

b2-4ac

2a

）=（

-b

2a

）²-（

b2-4ac

2a

）²=

c

a

．
∴x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

是正確的；

（3）方程

1

2

x2-7x+3=0中，
∵a=

1

2

，b=-7，c=3，
∴b²-4ac=49-6=43＞0，
則x₁+x₂=-

b

a

=-

-7

1 2

=14，x₁x₂=

c

a

=

3

1 2

=6，
①x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=14²-2×6=196-12=184；
②

1

x 2 1

+

1

x 2 2

=

x12+x22

(x1x2) 2

=

184

142

=

184

196

=

46

49

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了利用配方法推導(dǎo)求根公式，由求根公式推導(dǎo)根與系數(shù)的關(guān)系，以及根與系數(shù)關(guān)系的運(yùn)用，其中利用配方法推導(dǎo)求根公式是一個(gè)難點(diǎn)，要求學(xué)生必須掌握推導(dǎo)過(guò)程每一步的依據(jù)，即要搞清為什么，根與系數(shù)關(guān)系應(yīng)用的前提必須是一元二次方程有解，即b²-4ac≥0，在運(yùn)用根與系數(shù)關(guān)系時(shí)，往往利用配方，提取公因式，通分等方法把所求的式子化為與兩根之和及兩根之積有關(guān)的式子，然后把求出的兩根之和與兩根之積整體代入即可求出值．