Question

如圖1，已知拋物線的頂點為A(O，1)，矩形CDEF的頂點C、F在拋物線上，D、E在軸上，CF交y軸于點B(0，2)，且其面積為8．
(1)求此拋物線的解析式；
(2)如圖2，若P點為拋物線上不同于A的一點，連結PB并延長交拋物線于點Q，過點P、Q分別作軸的垂線，垂足分別為S、R．
①求證：PB＝PS；
②判斷△SBR的形狀；
③試探索在線段SR上是否存在點M，使得以點P、S、M為頂點的三角形和以點Q、R、M為頂點的三角形相似，若存在，請找出M點的位置；若不存在，請說明理由．

Answer 1

⑴解：方法一：
∵B點坐標為(0．2)，
∴OB＝2，
∵矩形CDEF面積為8，
∴CF=4.
∴C點坐標為(一2，2)．F點坐標為(2，2)。
設拋物線的解析式為．
其過三點A(0，1)，C(-2．2)，F(xiàn)(2，2)。
得
解這個方程組，得

∴此拋物線的解析式為   …………    (3分)
方法二：
∵B點坐標為(0．2)，
∴OB＝2，
∵矩形CDEF面積為8，
∴CF=4.
∴C點坐標為(一2，2)。 ………    (1分)
根據(jù)題意可設拋物線解析式為。
其過點A(0，1)和C(-2．2)
………
解這個方程組，得

此拋物線解析式為
(2)解：

①過點B作BN，垂足為N．
∵P點在拋物線y=十l上．可設P點坐標為．
∴PS＝，OB＝NS＝2，BN＝。
∴PN=PS—NS= ………………………… (5分)
在RtPNB中．
PB＝
∴PB＝PS＝………………………… (6分)
②根據(jù)①同理可知BQ＝QR。
∴，
又∵ ，
∴，
同理SBP＝………………………… (7分)
∴
∴
∴.
∴ △SBR為直角三角形．………………………… (8分)
③方法一：

設，
∵由①知PS＝PB＝b．，。
∴
∴�！�……………………… (9分)
假設存在點M．且MS＝，別MR＝ 。
若使△PSM∽△MRQ，
則有。
即
∴。
∴SR＝2
∴M為SR的中點.………………………… (11分)
若使△PSM∽△QRM，
則有。
∴。
∴。
∴M點即為原點O。
綜上所述，當點M為SR的中點時．PSM∽MRQ；當點M為原點時，PSM∽MRQ．………………………… (13分)
方法二：
若以P、S、M為頂點的三角形與以Q、M、R為頂點的三角形相似，
∵，
∴有PSM∽MRQ和PSM∽△QRM兩種情況。
當PSM∽MRQ時．SPM＝RMQ，SMP＝RQM．
由直角三角形兩銳角互余性質．知PMS+QMR＝。
∴�！�……………………… (9分)
取PQ中點為N．連結MN．則MN＝PQ=．…………………… (10分)
∴MN為直角梯形SRQP的中位線,
∴點M為SR的中點 …………………… (11分)
當△PSM∽△QRM時，

又，即M點與O點重合。
∴點M為原點O。
綜上所述，當點M為SR的中點時，PSM∽△MRQ；當點M為原點時，PSM∽△QRM………   (13分)解析:
p;【解析】略