Question

已知：如圖，以定線(xiàn)段AB為直徑作半圓O,P為半圓上任意一點(diǎn)（異于A(yíng)、B），過(guò)點(diǎn)P作半圓O的切線(xiàn)分別交過(guò)A、B兩點(diǎn)的切線(xiàn)于D、C, AC、BD相交于N點(diǎn)，連結(jié)ON、NP,下列結(jié)論：①四邊形ANPD是梯形； ② ON=NP；   ③ DP·PC為定值； ④PA為∠NPD的平分線(xiàn).其中一定成立的是

1. A.
   ①②③
2. B.
   ②③④
3. C.
   ①③④
4. D.
   ①④

Answer 1

C
①因?yàn)镈A、DP、CP、CB為⊙O切線(xiàn)，故DA⊥AB，CB⊥AB．
于是AD∥BC，AD=DP，CB=CP．
∴∠CAD=∠NCB，∠ADN=∠DBC，
∴△AND∽△CNB，
∴CB/AD=CN/NA=CP/DP,
∴NP∥BC，
故NP∥AD，又AN與DP相交，
∴四邊形ANPD是梯形，本選項(xiàng)正確；
②不能確定；
③連接OP，OD，OC，如圖所示：

由DA，DP為圓O的切線(xiàn)，
∴∠OAD=∠OPD=90°，
在直角三角形OAD和OPD中，
DA=DP，OD=OD，
∴△OAD≌△OPD，
∴∠AOD=∠POD，
同理∠POC=∠BOC，
∠AOD+∠DOP+∠POC+∠BOC=180°，
∴∠COD=∠DOP+∠COP=90°，又OP⊥CD，
∴∠POD+∠POC=90°，∠POD+∠ODP=90°，
∴∠ODP=∠POC，同理∠POD=∠PCO，
∴△OPD∽△CPO，
∴OP/PC=DP/OP,
即OP²=DP?PC，
∵OP為圓O的半徑，為定值，故DP?PC為定值，本選項(xiàng)正確；
④因?yàn)镈A=DP，所以∠DAP=∠DPA．
因?yàn)镹P∥AD，所以∠NPA=∠DAP．
所以∠DPA=∠NPA．
PA為∠NPD的平分線(xiàn)．
則一定成立的選項(xiàng)有：①③④．
故答案為：①③④．