Question

如圖正方形ABCD和正方形EFGH，F和B重合，EF在AB上，連DH（本題14分）
⑴、由圖⑴易知，
①線段AE=CG， AE和CG所在直線互相垂直，且此時易求得②         。
⑵、若把正方形EFGH繞F點逆時針旋轉度（圖2），⑴中的兩個結論是否仍然成立？若成立，選擇其中一個加以證明，若不成立，請說明理由。
⑶、若把圖⑴中的正方形EFGH沿BD方向以每秒1cm的速度平移，設平移時間為x秒，正方形ABCD和正方形EFGH的邊長分別為5cm和1cm，
①在平移過程中，△AFH是否會成為等腰三角形？若能求出x的值，若不能，說明理由．
②在平移過程中，△AFH是否會成為等邊三角形？若能求出x的值，若不能，設正方形ABCD和正方形EFGH的邊長分別為acm和bcm，則當a、b滿足什么關系時，△AFH可以成為等邊三角形．

Answer 1

解：（1）∵AE=CG，∴
（2）∵正方形ABCD和正方形EFGH，
∴∠ABC=∠=EBG=90°，
∴∠α=90°-∠ABG，∠CBG=90°-∠ABG，
∴∠α=∠CBG，
由于AB=BC，EB=BG，
∴△AEB≌△CGB，∴AE=CG．
∴（1）中的兩個結論都成立．
1，當ABCD邊長=5，EFGH=1時候，，△AFH不會成為等邊三角形。
設ABCD邊長為a，EFGH邊長為b，連接AC，AC與BD相交于K點（AC與BD相互垂直平分，不用證明了吧）
AK = a，FK= b，
AF²=AK² +FK²，既AF²=a² /2+b²/2
若△AFH為等邊三角形，那么AK= b
所以：2b²=a²/2+b²/2
即：a：b=：1
所以：當ABCD的邊長是EFGH邊長的倍時候，△AFH可以為正三角形。

（1）連接DB，可證明△DHG≌△DHE，再由AE=CG，可直接得出結論．
（2）先求證∠α和∠CBG相等，利用SAS求證△AEB≌△CBG，即可．
（3）①根據等腰三角形的性質，考慮底和腰的特征即可；
②根據等邊三角形的性質即可得到結果。