Question

如圖所示，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB=3，BC=9，將圖形沿著EF對(duì)折，使得B點(diǎn)與D點(diǎn)重合，A點(diǎn)落在A′的位置．
（1）求DE的長(zhǎng)度；
（2）試說明DE=DF的理由；
（3）求EF的長(zhǎng)度．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)翻折的性質(zhì)可得A′E=AE，A′D=AB，再用DE表示出A′E，然后在Rt△A′DE中，利用勾股定理列出方程求解即可；
（2）根據(jù)翻折的性質(zhì)可得∠BFE=∠DFE，再根據(jù)長(zhǎng)方形的對(duì)邊平行可得AD∥BC，然后根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠BFE=∠DEF，從而得到∠DFE=∠DEF，再根據(jù)等角對(duì)等邊證明即可；
（3）過點(diǎn)F作FG⊥AD于G，在Rt△DFG中，利用勾股定理列式求出DG，再求出EG，然后在Rt△EFG中，利用勾股定理列式求解即可．

解答：解：（1）∵圖形沿著EF對(duì)折，B點(diǎn)與D點(diǎn)重合，A點(diǎn)落在A′的位置，
∴A′E=AE，A′D=AB，
在長(zhǎng)方形ABCD中，AB=3，BC=9，
∴A′D=3，AD=BC=9，
∴A′E=AE=AD-DE=9-DE，
在Rt△A′DE中，A′E²+A′D²=DE²，
∴（9-DE）²+3²=DE²，
解得DE=5；

（2）由翻折的性質(zhì)得，∠BFE=∠DFE，
∵AD∥BC，
∴∠BFE=∠DEF，
∴∠DFE=∠DEF，
∴DE=DF；

（3）如圖，過點(diǎn)F作FG⊥AD于G，
則FG=AB=3，
在Rt△DFG中，DG=

DF2-FG2

=

52-32

=4，
EG=DE-DG=5-4=1，
在Rt△EFG中，EF=

EG2+FG2

=

12+32

=

10

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了翻折變換的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，熟記翻折前后的圖形能夠互相重合得到相等的角和線段是解題的關(guān)鍵，（3）難點(diǎn)在于作輔助線構(gòu)造出直角三角形．