Question

如圖，⊙O₁與⊙O₂相交于A、B兩點(diǎn)，O₁A切⊙O₂于點(diǎn)A，過點(diǎn)O；作⊙O₂的割線O₁HD經(jīng)過點(diǎn)O₂，交AB于點(diǎn)E，BC是⊙O₂的直徑．
（1）求證：O₁E•AC=AE•AB；
（2）若O₁E=1，AC=8，求O₁H的長．

Answer 1

分析：（1）欲證O₁E•AC=AE•AB，可由△O₁AE∽△BCA得出；
（2）求O₁H的長，可以O(shè)₁O₂-O₂H，即O₁E+O₂E-O₂H，由題意求出相關(guān)線段即可．

解答：（1）證明：∵⊙O₁與⊙O₂相交于A、B兩點(diǎn)
∴O₁O₂⊥AB
∵BC是⊙O₂的直徑
∴∠BAC=∠O₁AE=90°
∵O₁A切⊙O₂于點(diǎn)A
∴∠O₁AE=∠C
∴△O₁AE∽△BCA
∴O₁E：AB=AE：AC
∴O₁E•AC=AE•AB；

（2）解：∵⊙O₁與⊙O₂相交于A、B兩點(diǎn)
∴AE=EB=0.5AB
∴AE=2
∵∠BAC=∠O₁AE=90°
∴O₁O₂∥AC，O₂B=O₂C
∴O₂E=0.5AC=4，O₂B²=BE²+O₂E²=20
∴O₂B=2

5

∴O₁H=O₁O₂-O₂H=O₁E+O₂E-O₂H=5-2

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判斷和性質(zhì)，切線的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)．有一定難度．