Question

．（8分）如圖1，已知直線y=2x（即直線l₁）和直線y=—x+4（即直線l₂），l₂與x軸相交于點(diǎn)A．點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā)，向x軸的正方向作勻速運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位，同時(shí)點(diǎn)Q從A點(diǎn)出發(fā)，向x軸的負(fù)方向作勻速運(yùn)動(dòng)，速度為每秒2個(gè)單位．設(shè)運(yùn)動(dòng)了t秒．

小題1:（1）求這時(shí)點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)（用t表示）．
小題2:（2）過點(diǎn)P、Q分別作x軸的垂線，與l₁、l₂分別相交于點(diǎn)O₁、O₂（如圖1）．
以O(shè)₁為圓心、O₁P為半徑的圓與以O(shè)₂為圓心、O₂Q為半徑的圓能否相切若能，求出t值；若不能，說明理由．

Answer 1

小題1:解：（1）點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，P點(diǎn)的坐標(biāo)為（t，0），
由- x+4=0得x=8，
所以點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為8-2t，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（8-2t，0）．
小題2:（2）由（1）可知點(diǎn)O₁的橫坐標(biāo)為t，點(diǎn)O₂的橫坐標(biāo)為8-2t，
將x=t代入y=2x，得y=2t，
所以點(diǎn)O₁的坐標(biāo)為（t，2t），
將x=8-2t代入y="-" x+4，得y=t，
所以點(diǎn)O₂的坐標(biāo)為（8-2t，t），
①若這兩圓外切（如圖），連接O₁O₂，過點(diǎn)O₂作O₂N⊥O₁P，垂足為N．
則O₁O₂=2t+t=3t，O₂N=8-2t-t=8-3t，O₁P=2t-t=t，
所以t²+（8-3t）²=（3t）²，
即t²-48t+64=0，解得t₁="24+16" ，t₂="24-16" ．
②若這兩圓內(nèi)切，又因?yàn)閮蓤A都x軸相切所以點(diǎn)P、Q重合（如圖）
此時(shí)O₁、O₂的橫坐標(biāo)相同，即8-2t=t，t= ，
（或：設(shè)l₂與y軸相交于點(diǎn)M，則= ，即= ，
所以t= ，
所以兩圓能相切，這是t的值分別為24+16 ，24-16 和．

略