Question

如圖，點C（1，0）是x軸上一點，直線PC與雙曲線y=

k

x

交于點P，且∠PCB=30°，PC的垂直平分線交x軸于點B，如果BC=4．
（1）求雙曲線和直線PC的解析式．
（2）設P′點是直線PC上一點，且點P′與點P關于點C對稱，直接寫出點P′的坐標．

Answer 1

分析：（1）過P作PE⊥x軸于E，設BE=a，求出CE=

3

a，根據(jù)垂直平分線性質(zhì)和三角形的外角性質(zhì)求出∠EPB=30°，推出PE=

3

BE，得出方程a+4=

3

×

3

a，求出a，即可得出P的坐標，
代入y=

k

x

即可求出反比例函數(shù)的表達式，設直線PC的解析式是y=mx+b把P、C的坐標代入得出方程組，求出m和b的值，即可得出直線PC的表達式；
（2）根據(jù)對稱的性質(zhì)求出P′E′=PE=2

3

，CE′=CE=5+1=6，求出OE′，即可得出P′的坐標．

解答：解：（1）如圖，過P作PE⊥x軸于E，
設BE=a，
∵B在PC的垂直平分線上，
∴PB=BC=4，
∴∠PCB=∠BPC=30°，
∴∠PBE=30°+30°=60°，
∴∠EPB=30°，
∴PE=

3

BE=

3

a，
a+4=

3

PE，
∴a+4=

3

×

3

a，
解得：a=2，
OE=2+（4-1）=5，PE=

3

a=2

3

即P的坐標是（-5，2

3

），
代入y=

k

x

得：k=-10

3

，
∴反比例函數(shù)的表達式是y=-

10 3

x

，
設直線PC的解析式是y=mx+b
把P、C的坐標代入得：

0=m+b 2 3 =-5m+b

，
解得：m=-

3

3

，b=

3

3

，
∴直線PC的表達式是y=-

3

3

x+

3

3

．

（2）過P′作P′E′⊥x軸于E′，
∵根據(jù)對稱的性質(zhì)P′E′=PE=2

3

，CE′=CE=5+1=6，
∴OE′=6+1=7
P′的坐標是（7，-2

3

）．

點評：本題考查了對稱性質(zhì)、用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式，含30度角的直角三角形性質(zhì)，解二元一次方程組等知識點，本題題型比較好，綜合性比較好，有一定的難度．