Question

如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=45°，AB=2

2

，BC=5，直角三角板含45°角的頂點(diǎn)E在邊BC上移動(dòng)，一直角邊始終經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，斜邊與CD交于點(diǎn)F．
（1）若CE=AB，求CF的長(zhǎng)度．
（2）若△CEF是直角三角形，求CF的長(zhǎng)度．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和列式求出∠BAE=∠CEF，再利用“角邊角”證明△ABE和△ECF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得CF=BE，CE=AB，然后代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可得解；
（2）根據(jù)等腰梯形同一底上的兩底角相等求出∠C=∠B=45°，再分①∠EFC=90°時(shí)，∠CEF=45°，然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出BE，再求出CE，然后求出CF即可；②∠CEF=90°時(shí)，求出∠AEB=45°，然后求出∠BAE=90°，再根據(jù)等腰直角三角形求出BE，再求出CE，然后求出CF即可．

解答：解：（1）在△ABE中，∠AEC=∠B+∠BAE=∠AEF+∠CEF，
∵∠B=45°，∠AEF=45°，
∴∠BAE=∠CEF，
在△ABE和△ECF中，

∠BAE=∠CEF CE=AB ∠B=∠C=45°

，
∴△ABE≌△ECF（ASA），
∴CF=BE，CE=AB，
∵AB=2

2

，BC=5，
∴CF=BE=BC-AB=5-2

2

；


（2）∵AD∥BC，∠B=45°，
∴∠C=∠B=45°，
①如圖1，∠EFC=90°時(shí)，∠CEF=90°-∠C=90°-45°=45°，
∴∠AEB=180°-∠AEF-∠CEF=180°-45°-45°=90°，
∵AB=2

2

，
∴BE=

2

2

×2

2

=2，
∵BC=5，
∴CE=BC-BE=5-2=3，
在Rt△CEF中，CF=

2

2

CE=

3 2

2

；

②如圖2，∠CEF=90°時(shí)，∠AEB=180°-45°-90°=45°，
∴∠BAE=180°-∠B-∠BAE=180°-45°-45°=90°，
∵AB=2

2

，
∴BE=

2

AB=

2

×2

2

=4，
∵BC=5，
∴CE=BC-BE=5-4=1，
在Rt△CEF中，CF=

2

CE=

2

，
綜上所述，CF的長(zhǎng)度為

3 2

2

或

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰梯形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，主要利用了等腰梯形同一底上的兩底角相等的性質(zhì)，（2）要分情況討論求解．