【答案】
分析:(1)為了求出三角形的面積,我們要作高線.通過(guò)特殊角的三角函數(shù)求出此高,再利用三角形相似,用t表示出底.這樣,這個(gè)三角形的面積就可用含t的代數(shù)式表示出來(lái)了.
(2)首先由兩步相似,即△AGD∽△BFD,△AGE∽△CHE,證得BF=CH,然后分三種情況:
①0<t<6時(shí),②t=6時(shí),③t>6時(shí);
在上述三種情況中,通過(guò)線段間的等量代換,都可證得FH=BC,因此△FHG、△ABC的面積相等,由于△ABC的面積是定值,所以△FHG的面積不變.
(3)分兩種情況:①點(diǎn)F在線段BC上,②點(diǎn)F在BC的延長(zhǎng)線上;可通過(guò)線段間的等量關(guān)系,求出BF的值,從而求得t的值.
解答:解:(1)作EM⊥GA,垂足為M.
∵△ABC是等邊三角形,
∴∠ACB=60°.
∵GA∥BC,
∴∠MAE=60°.
∵AD=AE=4,
∴ME=AE•sin60°=2
,BD=AB-AD=8,
又GA∥BH,
∴△AGD∽△BFD,
∴
=
=
,
又∵BF=2t,
∴AG=t.
∴S=
t.
(2)猜想:不變.
∵AG∥BC,
∴△AGD∽△BFD,△AGE∽△CHE,
∴
=
,
=
,
∴
=
,
∴
=
,
∴BF=CH.
情況①:0<t<6時(shí),
∵BF=CH,
∴BF+CF=CH+CF,
即:FH=BC;
情況②:t=6時(shí),有FH=BC;
情況③:t>6時(shí),
∵BF=CH,
∴BF-CF=CH-CF,
即:FH=BC.
∴S
△GFH=S
△ABC=36
.
綜上所述,當(dāng)點(diǎn)F在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,△GFH的面積為36
cm
2.
(3)∵BC=FH,∴BF=CH.
①當(dāng)點(diǎn)F在線段BC邊上時(shí),若點(diǎn)F和點(diǎn)C是線段BH的三等分點(diǎn),則BF=FC=CH.
∵BC=12,∴BF=FC=6,
又∵點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)速度為2cm/s,
∴t=3.
∴當(dāng)t=3時(shí),點(diǎn)F和點(diǎn)C是線段BH的三等分點(diǎn);
②當(dāng)點(diǎn)F在BC的延長(zhǎng)線上時(shí),若點(diǎn)F和點(diǎn)C是BH的三等分點(diǎn),則BC=CF=FH.
∵BC=12,∴CF=12,∴BF=24,
又∵點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)速度為2cm/s,
∴t=12.
∴當(dāng)t=12時(shí),點(diǎn)F和點(diǎn)C是線段BH的三等分點(diǎn);
綜上可知:當(dāng)t=3s或12s時(shí),點(diǎn)F和點(diǎn)C是線段BH的三等分點(diǎn).
點(diǎn)評(píng):此題主要考查了平行線的性質(zhì)、解直角三角形、相似三角形的判定和性質(zhì)、三角形面積的計(jì)算方法等知識(shí),同時(shí)還涉及分類討論的數(shù)學(xué)思想,難度較大.