Question

正方形ABCD邊長為4，M、N分別是BC、CD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)M點(diǎn)在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，保持AM和MN垂直，
（1）證明：Rt△ABM∽R(shí)t△MCN；
（2）設(shè)BM=x，梯形ABCN的面積為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得∠B=∠C=90°，∠AMB+∠BAM=90°，又∠AMN=90°，則∠AMB+∠NMC=90°，得到∠BAM=∠NMC，根據(jù)相似三角形的判定即可得到結(jié)論；
（2）由（1）的結(jié)論得到AB：MC=BM：NC，把AB=4，BM=x，MC=4-x代入表示出NC，然后根據(jù)梯形的面積公式得y=

1

2

（NC+AB）•BC，然后把NC、AB和BC的長代入即可得到
y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠B=∠C=90°，
又∵AM⊥MN，
∴∠AMN=90°，
∴∠AMB+∠NMC=90°，
而∠AMB+∠BAM=90°，
∴∠BAM=∠NMC，
∴Rt△ABM∽R(shí)t△MCN，
（2）解：∵Rt△ABM∽R(shí)t△MCN，
∴AB：MC=BM：NC，
而AB=4，BM=x，MC=4-x，
∴4：（4-x）=x：NC，
∴NC=

4x-x2

4

，
∴y=

1

2

（NC+AB）•BC
=

1

2

（

4x-x2

4

+4）×4
=-

1

2

x²+2x+8．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：有兩組內(nèi)角分別對(duì)應(yīng)相等的兩三角形相似；相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等．也考查了正方形的性質(zhì)以及梯形的面積公式．