【題目】在ABCD中,AB=BC=9,∠BCD=120°.點M從點A出發(fā)沿射線AB方向移動.同時點N從點B出發(fā),以相同的速度沿射線BC方向移動,連接AN,CM,直線AN、CM相交于點P.
(1)如圖甲,當點M、N分別在邊AB、BC上時,
①求證:AN=CM;
②連接MN,當△BMN是直角三角形時,求AM的值.
(2)當M、N分別在邊AB、BC的延長線上時,在圖乙中畫出點P,并直接寫出∠CPN的度數(shù).
【答案】(1)①見解析②3或6(2)120°
【解析】
(1)①連接AC,先證△ABC是等邊三角形得AB=CA=9、∠B=∠CAB=60°,由BN=AM證△ABN≌△CAM即可得;
②分∠MNB=90°和∠NMB=90°兩種情況,由∠B=60°得出另一個銳角為30°,根據(jù)直角三角形中30°角所對邊等于斜邊的一半及AM=BN求解可得;
(2)根據(jù)題意作出圖形,連接AC,先證△BAN≌△ACM得∠N=∠M,由∠NCP=∠MCB知∠CPN=∠CBM,根據(jù)AB∥CD、∠BCD=120°可得∠CPN=∠CBM=120°.
(1)①如圖1,連接AC,
在ABCD中,AB∥DC,
∴∠B=180°﹣∠BCD=180°﹣120°=60°,
又∵AB=BC=9,
∴△ABC是等邊三角形,
∴AB=CA=9,∠B=∠CAB=60°,
又∵BN=AM,
∴△ABN≌△CAM(SAS),
∴AN=CM;
②如圖2,
(Ⅰ)當∠MNB=90°時,
∵∠B=60°,
∴∠BMN=90°﹣60°=30°,
∴BN=BM,
又∵BN=AM,
∴AM=(9﹣AM),
∴AM=3;
(Ⅱ)當∠NMB=90°時,∠BNM=90°﹣60°=30°,
∴BM=BN,
∴9﹣AM=AM,
∴AM=6;
綜上所述,當△BMN是直角三角形時,AM的值為3或6;
(2)如圖3所示,
點P即為所求;
∠CPN=120°,
連接AC,
由(1)知△ABC是等邊三角形,
∴∠BAN=∠CAM=60°、AB=CA,
又∵BN=AM,
∴△BAN≌△ACM(SAS),
∴∠N=∠M,
∵∠NCP=∠MCB,
∴∠CPN=∠CBM,
∵AB∥CD,∠BCD=120°,
∴∠CPN=∠CBM=120°.
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【題目】如圖,矩形紙片ABCD中,已知AD =8,折疊紙片使AB邊與對角線AC
重合,點B落在點F處,折痕為AE,且EF=3,則AB的長為( )
A. 3 B. 4
C. 5 D. 6
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【題目】如圖,已知拋物線y=﹣x2+bx+c(b,c是常數(shù))經(jīng)過A(0,2)、B(4,0)兩點.
(1)求該拋物線的解析式和頂點坐標;
(2)作垂直x軸的直線x=t,在第一象限交直線AB于M,交這條拋物線于N,求當t取何值時,MN有最大值?最大值是多少?
(3)在(1)的情況下,以A、M、N、D為頂點作平行四邊形,請直接寫出第四個頂點D的所有坐標(直接寫出結(jié)果,不必寫解答過程)
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【題目】已知一次函數(shù)y=﹣2x+4的圖象與x軸、y軸分別交于點A、B,以AB為邊在第一象限內(nèi)作直角三角形ABC,且∠BAC=90°,tan∠ABC=.
(1)求點C的坐標;
(2)在第一象限內(nèi)有一點M(1,m),且點M與點C位于直線AB的同側(cè),使得2S△ABM=S△ABC,求點M的坐標.
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【題目】如圖,已知在△ABC中,∠BAC=2∠C,∠BAC的平分線AE與∠ABC的平分線BD相交于點F,F(xiàn)G∥AC,聯(lián)結(jié)DG.
(1)求證:BFBC=ABBD;
(2)求證:四邊形ADGF是菱形.
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【題目】某電視臺的一檔娛樂性節(jié)目中,在游戲PK環(huán)節(jié),為了隨機分選游戲雙方的組員,主持人設(shè)計了以下游戲:用不透明的白布包住三根顏色長短相同的細繩AA1、BB1、CC1,只露出它們的頭和尾(如圖所示),由甲、乙兩位嘉賓分別從白布兩端各選一根細繩,并拉出,若兩人選中同一根細繩,則兩人同隊,否則互為反方隊員.
(1)若甲嘉賓從中任意選擇一根細繩拉出,求他恰好抽出細繩AA1的概率;
(2)請用畫樹狀圖法或列表法,求甲、乙兩位嘉賓能分為同隊的概率.
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【題目】如圖,在矩形紙片ABCD中,已知AB=2,BC=,點E在邊CD上移動,連接AE,將多邊形ABCE沿直線AE翻折得到多邊形AB’C’E,點B、C的對應(yīng)點分別為點B’,C’
(1)當點E與點C重合時,求DF的長
(2)如果點M為CD的中點,那么在點E從點C移動到點D的過程中,求C’M的最小值
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【題目】小馬虎做一道數(shù)學(xué)題,“已知兩個多項式,,試求.”其中多項式的二次項系數(shù)印刷不清楚.
(1)小馬虎看答案以后知道,請你替小馬虎求出系數(shù)“”;
(2)在(1)的基礎(chǔ)上,小馬虎已經(jīng)將多項式正確求出,老師又給出了一個多項式,要求小馬虎求出的結(jié)果.小馬虎在求解時,誤把“”看成“”,結(jié)果求出的答案為.請你替小馬虎求出“”的正確答案.
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【題目】如圖,已知A(-4, ),B(-1,2)是一次函數(shù)y=kx+b與反比例函數(shù)y= (m≠0,m<0)圖象的兩個交點,AC⊥x軸于C,BD⊥y軸于D。
(1)、根據(jù)圖象直接回答:在第二象限內(nèi),當x取何值時,一次函數(shù)大于反比例函數(shù)的值?
(2)、求一次函數(shù)解析式及m的值;
(3)、P是線段AB上的一點,連接PC,PD,若△PCA和△PDB面積相等,求點P坐標。
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