Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C，D在⊙O上，點(diǎn)E在⊙O外，AE是⊙O的切線，∠CAE=60°．
（1）求∠D的度數(shù)；
（2）當(dāng)BC=4時(shí)，求劣弧AC的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì),弧長(zhǎng)的計(jì)算

專題：

分析：（1）根據(jù)切線的性質(zhì)得出∠BAE=90°，根據(jù)∠BAC=∠BAE-∠CAE，求出∠BAC的度數(shù)，再根據(jù)AB是⊙O的直徑，得出∠ABC=90°，求出∠B的度數(shù)，再根據(jù)∠D=∠B，即可得出∠D的度數(shù)；
（2）連接OC，根據(jù)OB=OC，∠B=60°，得出△OBC是等邊三角形，求出OB=BC=4，∠BOC=60°，從而得出∠AOC=120°，再根據(jù)弧長(zhǎng)公式即可得出答案．

解答： 解：（1）∵AE是⊙O的切線，
∴AB⊥AE，
∴∠BAE=90°，
∵∠CAE=60°，
∴∠BAC=∠BAE-∠CAE=90°-60°=30°，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ABC=90°，
∴∠B=60°，
∵∠D=∠B，
∴∠D=60°；

（2）連接OC，
∵OB=OC，∠B=60°，
∴△OBC是等邊三角形，
∵BC=4，
∴OB=BC=4，∠BOC=60°，
∴∠AOC=120°，
∴劣弧AC的長(zhǎng)是：

120π×4

180

=

8π

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的性質(zhì)，用到的知識(shí)點(diǎn)是圓周角定理、弧長(zhǎng)公式、等邊三角形的性質(zhì)等知識(shí)．此題難度適中，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意輔助線的作法．