Question

如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=5，AD=2，BC=8，∠MEN=∠B．∠MEN的頂點(diǎn)E在邊BC上移動(dòng)，一條邊始終經(jīng)過點(diǎn)A，另一邊與CD交于點(diǎn)F，連接AF．
（1）設(shè)BE=x，DF=y，試建立y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出函數(shù)定義域；
（2）若△AEF為等腰三角形，求出BE的長(zhǎng)．

Answer 1

解：（1）∵AB=DC=5，∴∠B=∠C
而∠AEC=∠B+∠BAE=∠AEF+∠FEC
∵∠AEF=∠B，∴∠BAE=∠FEC
∴△ABE∽△ECF
∴即
∴（0≤x≤8）；

（2）分別過A、D作AG、DH垂直于BC分別交于點(diǎn)G、H可推得cos，
①若AE=AF，則有cos=cos，即
∵△ABE∽△ECF，∴=，即=，解得x=2，
②若AF=FE，同理有=，解得x=，
③若AE=EF，同理有5=8-x，解得x=3；
∵0，
∴BE的長(zhǎng)為2，3，．
分析：（1）由等腰梯形的性質(zhì)得，∠B=∠C，由外角的性質(zhì)得，∠BAE=∠FEC，則△ABE∽△FEC，則即，
從而得出（0≤x≤8）；
（2）分別過A、D作AG、DH垂直于BC分別交于點(diǎn)G、H，則cos，
然后分三種情況求解即可，
①若AE=AF，過點(diǎn)A作AG⊥EF，則=，即=，解得x=2，
②若AF=FE，同理有=，解得x=，
③若AE=EF，同理有5=8-x，解得x=3；再根據(jù)x的取值范圍，得出答案．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、解直角三角形、等腰三角形的性質(zhì)．