Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，對角線AC與BD交于點O，OE⊥BC，垂足是E．
（1）求證：E是BC的中點；
（2）若在線段BO上存在點P，使得四邊形AOEP為平行四邊形．求證：四邊形ABED是平行四邊形．

Answer 1

（1）證明：在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，
∵在△ABC和△DCB中，
，
∴△ABC≌△DCB（SSS），
∴∠ACB=∠DBC，
∴OB=OC，
∵OE⊥BC，
∴點E是BC中點（三線合一）．

（2）∵四邊形AOEP是平行四邊形，
∴AP=OE，
∵在△APD和△EOB中，
，
∴△APD≌△EOB（AAS），
∴AD=BE，
又∵AD∥BC，
∴四邊形ABED是平行四邊形．
分析：（1）根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)，可進(jìn)行△ABC≌△DCB的判定，繼而得出∠ACB=∠DBC，則OB=OC，利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得出結(jié)論；
（2）證明△APD≌△EOB，從而得出AD=EB，這樣即可判斷出四邊形ABED是平行四邊形
點評：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)及等腰梯形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵要熟練掌握等腰梯形的對角線相等及平行四邊形的性質(zhì)與判定定理．