Question

長(zhǎng)方形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分線(xiàn)EF分別交AD、BC于點(diǎn)E、F，垂足為O．
（1）如圖（1），連接AF、CE，則四邊形AFCE

 

（一定/不一定）是平行四邊形；
（2）求四邊形AFCE的面積；
（3）如圖（2），動(dòng)點(diǎn)P，Q分別從A、E兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿△AFB和△ECD各邊勻速運(yùn)動(dòng)一周，即點(diǎn)P自A→F→B→A停止，點(diǎn)Q自E→C→D→E停止，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，已知點(diǎn)P的速度為每秒5cm，點(diǎn)Q的速度為每秒5cm，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)A、P、C、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，求t的值．

Answer 1

考點(diǎn)：四邊形綜合題

專(zhuān)題：綜合題

分析：（1）由AE∥CF得到∠EAC=∠FCA，再根據(jù)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)得AE=AF，∠FAC=∠EAC，則∠FAC=∠FCA，得到AF=CF，所以AE=CF，加上AE∥CF，于是可判斷四邊形AFCE為平行四邊形；
（2）設(shè)CF=x，則AF=x，BF=BC-CF=8-x，在Rt△ABF中根據(jù)勾股定理得4²+（8-x）²=x²，解得x=5，然后根據(jù)平行四邊形的面積公式求解；
（3）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得AF∥CE，AF=CE=5，然后分類(lèi)討論：當(dāng)點(diǎn)P在AF上，點(diǎn)Q在EC上，如圖3，AP=5t，EQ=5t，則CQ=5-5t，由于AF∥CE，若當(dāng)AP=CQ時(shí)，四邊形APCQ為平行四邊形，即5t=5-5t，即可解得t=

1

2

（s）；當(dāng)點(diǎn)P在BF上，點(diǎn)Q在CD上時(shí)，A、P、C、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形顯然不構(gòu)成平行四邊形；
當(dāng)點(diǎn)P在AB上，點(diǎn)Q在CD上時(shí)，如圖4，表示出AP=12-5t，CQ=5t-5，由于AP∥CQ，若當(dāng)AP=CQ時(shí)，四邊形APCQ為平行四邊形，則12-5t=5t-5，解得t=

17

10

（s）；當(dāng)點(diǎn)P在AB上，點(diǎn)Q在DEW上時(shí)，A、P、C、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形顯然不構(gòu)成平行四邊．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD為矩形，
∴AE∥CF，
∴∠EAC=∠FCA，
∵EF垂直平分AC，
∴AE=AF，∠FAC=∠EAC，
∴∠FAC=∠FCA，
∴AF=CF，
∴AE=CF，
而AE∥CF，
∴四邊形AFCE為平行四邊形；
故答案為一定；
（2）設(shè)CF=x，則AF=x，BF=BC-CF=8-x，
在Rt△ABF中，∵AB²+BF²=AF²，
∴4²+（8-x）²=x²，解得x=5，
∴四邊形AFCE的面積=AB•CF=4×5=20（cm²）；
（3）∵四邊形AFCE為平行四邊形，
∴AF∥CE，AF=CE=5，
當(dāng)點(diǎn)P在AF上，點(diǎn)Q在EC上，如圖3，AP=5t，EQ=5t，則CQ=5-5t
∵AF∥CE，
∴當(dāng)AP=CQ時(shí)，四邊形APCQ為平行四邊形，即5t=5-5t，解得t=

1

2

（s）；
當(dāng)點(diǎn)P在BF上，點(diǎn)Q在CD上時(shí)，A、P、C、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形不構(gòu)成平行四邊形；
當(dāng)點(diǎn)P在AB上，點(diǎn)Q在CD上時(shí)，如圖4，此時(shí)AF+BF+BP=5t，則BP=5t-8，
AP=AB-BP=4-（5t-8）=12-5t；CE+CQ=5t，則CQ=5t-5，
∵AP∥CQ，
∴當(dāng)AP=CQ時(shí)，四邊形APCQ為平行四邊形，則12-5t=5t-5，解得t=

17

10

（s）；
當(dāng)點(diǎn)P在AB上，點(diǎn)Q在DEW上時(shí)，A、P、C、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形不構(gòu)成平行四邊，
綜上所述，t的值為

1

2

s或

17

10

s．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了四邊形的綜合題：熟練掌握菱形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)和平行四邊形的判定與性質(zhì)；會(huì)解決有關(guān)動(dòng)點(diǎn)的問(wèn)題；注意分類(lèi)討論思想的運(yùn)用．