【題目】(1)如圖1所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,點D在斜邊AB上,點E在直角邊BC上,若∠CDE=45°,求證:△ACD∽△BDE.
(2)如圖2所示,在矩形ABCD中,AB=4cm,BC=10cm,點E在BC上,連接AE,過點E作EF⊥AE交CD(或CD的延長線)于點F.
①若BE:EC=1:9,求CF的長;
②若點F恰好與點D重合,請在備用圖上畫出圖形,并求BE的長.
【答案】(1)見解析;(2)①CF=;②BE的長為2cm或8cm
【解析】
(1)由等腰直角三角形性質知∠A=∠B=45°、∠ACD+∠ADC=135°,根據∠CDE=45°知∠ADC+∠BDE=135°,據此得出∠BDE=∠ACD,從而得證;
(2)①由矩形的性質及EF⊥AE知∠BAE+∠AEB=90°、∠CEF+∠BEA=90°,得出∠BAE=∠CEF,即可證△BAE∽△CEF得=,據此計算可得;
②設BE=xcm,由①得△BAE∽△CEF,據此知=,即=,解之即可.
解:(1)∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,
∴∠A=∠B=45°,
∴∠ACD+∠ADC=135°,
∵∠CDE=45°,
∴∠ADC+∠BDE=135°,
∴∠BDE=∠ACD,
∴△ACD∽△BDE;
(2)①∵四邊形ABCD是矩形,
∴∠B=∠C=90°,
∴∠BAE+∠AEB=90°,
∵∠AEF=90°,
∴∠CEF+∠BEA=90°,
∴∠BAE=∠CEF,
∴△BAE∽△CEF,
∴=,
∵BE:EC=1:9,
∴BE=BC=1cm,CE=9cm,
∴=,CF=;
②如圖所示,設BE=xcm,
由①得△BAE∽△CEF,
∴=,即=,
整理,得:x2﹣10x+16=0,
解得:x1=2,x2=8,
所以BE的長為2cm或8cm.
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【題目】對于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)下列說法正確的是( 。
①若a,c異號,則方程ax2+bx+c=0(a≠0)一定有實數根;
②若b2﹣4ac>0,則方程ax2+bx+c=0(a≠0)一定有兩個不相等實數根;
③若b=a+c,則方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個不相等的實數根;
④若方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根符號相同,那么方程cx2+bx+a=0(c≠0)的兩根符號也相同.
A. 只有①③ B. 只有①②④ C. 只有①② D. 只有②④
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【題目】在中,,點為所在平面內一點,過點分別作交于點,交于點,交于點.
若點在上(如圖①),此時,可得結論:.
請應用上述信息解決下列問題:
當點分別在內(如圖②),外(如圖③)時,上述結論是否成立?若成立,請給予證明;若不成立,,,,與之間又有怎樣的數量關系,請寫出你的猜想,不需要證明.
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【題目】如圖,在正方形ABCD中,點E,F分別是邊AD,BC的中點,連接DF,過點E作EH⊥DF,垂足為H,EH的延長線交DC于點G.
(1)猜想DG與CF的數量關系,并證明你的結論;
(2)過點H作MN∥CD,分別交AD,BC于點M,N,若正方形ABCD的邊長為10,點P是MN上一點,求△PDC周長的最小值.
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【題目】由邊長相等的小正方形組成的網格,以下各圖中點A、B、C、D都在格點上.
(1)在圖1中,PC:PB= ;
(2)利用網格和無刻度的直尺作圖,保留痕跡,不寫作法.
①如圖2,在AB上找點P,使得AP:PB=1:3;
②如圖3,在BC上找點P,使得△APB∽△DPC;
③如圖4,在△ABC中內找一點P,連接PA、PB、PC,將△ABC分成面積相等的三部分.
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【題目】如圖所示,在第1個中,;在邊上任取一點,延長到,使,得到第2個;在邊上任取一點,延長到,使,得到第3個…按此做法繼續(xù)下去,則第個三角形中以為頂點的底角度數是( )
A.B.C.D.
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【題目】數學課上,王老師出示了如下框中的題目.
小明與同桌小聰討論后,進行了如下解答:
(1)特殊情況探索結論:在等邊三角形ABC中,當點E為AB的中點時,點D在CB點延長線上,且ED=EC;如圖1,確定線段AE與DB的大小關系.請你直接寫出結論 ;
(2)特例啟發(fā),解答題目
王老師給出的題目中,AE與DB的大小關系是: .理由如下:
如圖2,過點E作EF∥BC,交AC于點F,(請你完成以下解答過程)
(3)拓展結論,設計新題
在△ABC中,AB=BC=AC=1;點E在AB的延長線上,AE=2;點D在CB的延長線上,ED=EC,如圖3,請直接寫CD的長 .
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,AD⊥BC于D,下列條件:①∠B+∠DAC=90°;②∠B=∠DAC;③=;④AB2=BDBC . 其中一定能夠判定△ABC是直角三角形的有( )個.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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