Question

如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，AD平分∠BAC交BC于D，則BD的長為

 

．

Answer 1

考點：角平分線的性質(zhì),等腰直角三角形

專題：

分析：過點D作DE⊥AB于E，根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得點D到AC的距離也等于DE，然后利用△ABC的面積列方程求出DE，再判斷出△ADE是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出AE，再求出BE，然后利用勾股定理列式計算即可得解．

解答：解：如圖，過點D作DE⊥AB于E，
∵AD平分∠BAC，
∴點D到AC的距離也等于DE，
∴S_△ABC=

1

2

×3•DE+

1

2

×4•DE=

1

2

×3×4，
解得DE=

12

7

，
∵AD平分∠BAC，∠BAC=90°，
∴∠DAE=45°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴AE=DE=

12

7

，
∴BE=3-

12

7

=

9

7

，
在Rt△BDE中，BD=

DE2+BE2

=

( 12 7 )2+( 9 7 )2

=

15

7

．
故答案為：

15

7

．

點評：本題考查了角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，熟記各性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造出等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵．