(2012•臨夏州)已知,在Rt△OAB中,∠OAB=90°,∠BOA=30°,AB=2.若以O(shè)為坐標(biāo)原點,OA所在直線為x軸,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,點B在第一象限內(nèi).將Rt△OAB沿OB折疊后,點A落在第一象限內(nèi)的點C處.
(1)求點C的坐標(biāo);
(2)若拋物線y=ax2+bx(a≠0)經(jīng)過C、A兩點,求此拋物線的解析式;
(3)若上述拋物線的對稱軸與OB交于點D,點P為線段DB上一動點,過P作y軸的平行線,交拋物線于點M,問:是否存在這樣的點P,使得四邊形CDPM為等腰梯形?若存在,請求出此時點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

【答案】分析:(1)在Rt△AOB中,根據(jù)AB的長和∠BOA的度數(shù),可求得OA的長,根據(jù)折疊的性質(zhì)即可得到OA=OC,且∠BOC=∠BOA=30°,過C作CD⊥x軸于D,即可根據(jù)∠COD的度數(shù)和OC的長求得CD、OD的值,從而求出點C的坐標(biāo).
(2)將A、C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中,通過聯(lián)立方程組即可求出待定系數(shù)的值,從而確定該拋物線的解析式.
(3)根據(jù)(2)所得拋物線的解析式可得到其頂點的坐標(biāo)(即C點),設(shè)直線MP與x軸的交點為N,且PN=t,在Rt△OPN中,根據(jù)∠PON的度數(shù),易得PN、ON的長,即可得到點P的坐標(biāo),然后根據(jù)點P的橫坐標(biāo)和拋物線的解析式可求得M點的縱坐標(biāo),過M作ME⊥CD(即拋物線對稱軸)于E,過P作PQ⊥CD于Q,若四邊形CDPM是等腰梯形,那么CE=QD,根據(jù)C、M、P、D四點縱坐標(biāo),易求得CE、QD的長,聯(lián)立兩式即可求出此時t的值,從而求得點P的坐標(biāo).
解答:解:(1)過點C作CH⊥x軸,垂足為H;
∵在Rt△OAB中,∠OAB=90°,∠BOA=30°,AB=2,
∴OB=4,OA=2;
由折疊的性質(zhì)知:∠COB=30°,OC=AO=2,
∴∠COH=60°,OH=,CH=3;
∴C點坐標(biāo)為(,3).

(2)∵拋物線y=ax2+bx(a≠0)經(jīng)過C(,3)、A(2,0)兩點,
,
解得;
∴此拋物線的函數(shù)關(guān)系式為:y=-x2+2x.

(3)存在.
∵y=-x2+2x的頂點坐標(biāo)為(,3),
即為點C,MP⊥x軸,垂足為N,設(shè)PN=t;
∵∠BOA=30°,
∴ON=t,
∴P(t,t);
作PQ⊥CD,垂足為Q,ME⊥CD,垂足為E;
把x=t代入y=-x2+2x,
得y=-3t2+6t,
∴M(t,-3t2+6t),E(,-3t2+6t),
同理:Q(,t),D(,1);
要使四邊形CDPM為等腰梯形,只需CE=QD,
即3-(-3t2+6t)=t-1,
解得t=,t=1(舍),
∴P點坐標(biāo)為(),
∴存在滿足條件的P點,使得四邊形CDPM為等腰梯形,此時P點坐標(biāo)為(,).
點評:此題主要考查了圖形的旋轉(zhuǎn)變化、解直角三角形、二次函數(shù)解析式的確定、等腰梯形的判定和性質(zhì)等重要知識點,難度較大.
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(1)求點C的坐標(biāo);
(2)若拋物線y=ax2+bx(a≠0)經(jīng)過C、A兩點,求此拋物線的解析式;
(3)若上述拋物線的對稱軸與OB交于點D,點P為線段DB上一動點,過P作y軸的平行線,交拋物線于點M,問:是否存在這樣的點P,使得四邊形CDPM為等腰梯形?若存在,請求出此時點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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(1)求點C的坐標(biāo);
(2)若拋物線y=ax2+bx(a≠0)經(jīng)過C、A兩點,求此拋物線的解析式;
(3)若上述拋物線的對稱軸與OB交于點D,點P為線段DB上一動點,過P作y軸的平行線,交拋物線于點M,問:是否存在這樣的點P,使得四邊形CDPM為等腰梯形?若存在,請求出此時點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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(1)該顧客至少可得到______元購物券,至多可得到______元購物券;
(2)請你用畫樹狀圖或列表的方法,求出該顧客所獲得購物券的金額不低于30元的概率.

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