Question

（2013•閘北區(qū)一模）已知：如圖，在△ABC中，AB=AC=15，cos∠A=

4

5

．點(diǎn)M在AB邊上，AM=2MB，點(diǎn)P是邊AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)PA=x．
（1）求底邊BC的長(zhǎng)；
（2）若點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，聯(lián)接MP、MO、OP，設(shè)四邊形AMOP的面積是y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并出寫出x的取值范圍；
（3）把△MPA沿著直線MP翻折后得到△MPN，是否可能使△MPN的一條邊（折痕邊PM除外）與AC垂直？若存在，請(qǐng)求出x的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）作BH⊥AC于點(diǎn)H，求出AH=12，BH=9，求出CH，根據(jù)勾股定理得出BC²=BH²+CH²，求出即可；
（2）作OE⊥AB于點(diǎn)E，OF⊥AC于點(diǎn)F，求出OE=OF=

1

2

BH=

9

2

，求出PC=15-x，根據(jù)y=S_△ABC-S_△BOM-S_△COP和三角形面積公式求出即可；
（3）①當(dāng)PN⊥AC時(shí)，作MG⊥AC于點(diǎn)G，求出AG=8，MG=6，①若點(diǎn)P₁在AG上，由折疊知∠AP₁M=135°，求出P₁G=MG=6，代入AP₁=AG-P₁G求出即可；②若點(diǎn)P₂在CG上，由折疊知∠AP₂M=45°，求出P₂G=MG=6，代入AP₂=AG+P₂G求出即可；③當(dāng)MN⊥AC時(shí)，
由折疊知∠AMP₃=∠NMP₃，求出P₃G=8-x，GN₃=4，根據(jù)P₃N₃²=P₃G²+GN₃²得出x²=（8-x）²+4²，求出即可．

解答：解：
（1）作BH⊥AC于點(diǎn)H，如圖1，
∵在Rt△ABH中，cos∠A=

4

5

，AB=15，
∴AH=12，
∴BH=9，
∵AC=15，
∴CH=3，
∵BC²=BH²+CH²，
∴BC²=9²+3²=90，
∴BC=3

10

．

（2）作OE⊥AB于點(diǎn)E，OF⊥AC于點(diǎn)F，如圖2，
∵OE⊥AB，OF⊥AC，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，AB=AC，
∴OE=OF=

1

2

BH=

9

2

，
∵AM=2MB，AB=AC=15，
∴AM=10，BM=5，
∵PA=x，
∴PC=15-x，
∴y=S_△ABC-S_△BOM-S_△COP
=

1

2

BH•AC-

1

2

OE•BM-

1

2

OF•PC
=

1

2

×9×15-

1

2

×

9

2

×5-

1

2

×

9

2

×（15-x）
即y=

9

4

x+

45

2

．定義域是0＜x≤15．

（3）①當(dāng)PN⊥AC時(shí)，如圖2，作MG⊥AC于點(diǎn)G，
∵在Rt△AMG中，cos∠A=

4

5

，AM=10，
∴AG=8，
∴MG=6，
②若點(diǎn)P₁在AG上，∠AP₁N₁=90°，由折疊知：∠AP₁M=∠N₁P₁M=135°，
∴∠MP₁G=45°，
∵M(jìn)G⊥AC，
∴P₁G=MG=6，
∴AP₁=AG-P₁G=2．
③若點(diǎn)P₂在CG上，由折疊知：∠AP₂M=45°，
∵M(jìn)G⊥AC，
∴P₂G=MG=6，
∴AP₂=AG+P₂G=14．
④當(dāng)MN⊥AC時(shí)，如圖3，
由折疊知：∠AMP₃=∠NMP₃，P₃N₃=AP₃=x，MN₃=MA=10，
∴P₃G=8-x，GN₃=4，
∵P₃N₃²=P₃G²+GN₃²，
∴x²=（8-x）²+4²，
∴x=5，
綜上所述，x=2或5或14時(shí)滿足△MPN的一條邊與AC垂直．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了折疊性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算的能力，題目比較好，難度偏大．