(2004•濟寧)已知拋物線y=x2-(2m-1)x+4m-6.
(1)試說明對于每一個實數(shù)m,拋物線都經(jīng)過x軸上的一個定點;
(2)設(shè)拋物線與x軸的兩個交點A(x1,0)和B(x2,0)(x1<x2)分別在原點的兩側(cè),且A、B兩點間的距離小于6,求m的取值范圍;
(3)拋物線的對稱軸與x軸交于點C,在(2)的條件下,試判斷是否存在m的值,使經(jīng)過點C及拋物線與x軸的一個交點的⊙M與y軸的正半軸相切于點D,且被x軸截得的劣弧與是等弧?若存在,求出所有滿足條件的m的值;若不存在,說明理由.
【答案】分析:(1)將拋物線的解析式化為交點式,可求得拋物線與x軸的交點其中一個是定值,不隨m的變化而變化;
(2)本題可從兩個方面考慮:①AB的距離小于6,可用韋達定理求出一個m的取值范圍,
②由于A、B分別在原點兩側(cè),因此根據(jù)韋達定理有x1x2<0,據(jù)此可求出另外一個m的取值范圍.綜合兩種情況即可得出所求的m的取值范圍;
(3)本題要先畫出圖形,分拋物線對稱軸在y軸左側(cè)和右側(cè)兩種情況進行求解.解題思路一致.假設(shè)圓M與y軸的切點為D,過M作x軸的垂線設(shè)垂足為E,都是通過在直角三角形ACD和MEB(或MEA)中分別表示出OD和ME的長,根據(jù)OD=ME來列等量關(guān)系求出t的值.
解答:解:(1)由題意可知:y=(x-2)(x-2m+3),
因此拋物線與x軸的兩個交點坐標(biāo)為:
(2,0)(2m-3,0),
因此無論m取何值,拋物線總與x軸交于(2,0)點;

(2)令y=0,有:x2-(2m-1)x+4m-6=0,則:
x1+x2=2m-1,x1x2=4m-6;
∵AB<6
∴x2-x1<6,
即(x2-x12<36,(x1+x22-4x1x2<36,
即(2m-1)2-4(4m-6)<36,
解得-<x<.①
根據(jù)A、B分別在原點兩側(cè)可知:x1x2<0,
即4m-6<0,m<.②
綜合①②可得-<m<;

(3)假設(shè)存在這樣的m,設(shè)圓M與y軸的切點為D,過M作x軸的垂線設(shè)垂足為E.
①當(dāng)C點在x正半軸時,x=>0,
因此<m<
∵弧BC=弧CD,
因此BC=CD.
OC=,CD=BC=OB-OC=2-=,EC=BC=,
OE=MD=OC+CE=+=
易知:OD=ME,即OD2=ME2
∴CD2-OC2=CM2-CE2,
2-(2=(2-(2;
解得m=,符合m的取值范圍.
②當(dāng)C點在x負半軸時,x=<0,
因此-<m<,
同①可求得OC=,CD=AC=,CE=,MD=OE=
同理有:CD2-OC2=MC2-CE2
2-(2=(2-(2
化簡得:m2=,
∴m=±,均不符合m的取值范圍,
因此這種情況不成立.
綜上所述,存在符合條件的m,且m=
點評:本題結(jié)合圓和一元二次方程的相關(guān)知識考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用,難度較大.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2004年全國中考數(shù)學(xué)試題匯編《二次函數(shù)》(05)(解析版) 題型:解答題

(2004•濟寧)已知拋物線y=x2-(2m-1)x+4m-6.
(1)試說明對于每一個實數(shù)m,拋物線都經(jīng)過x軸上的一個定點;
(2)設(shè)拋物線與x軸的兩個交點A(x1,0)和B(x2,0)(x1<x2)分別在原點的兩側(cè),且A、B兩點間的距離小于6,求m的取值范圍;
(3)拋物線的對稱軸與x軸交于點C,在(2)的條件下,試判斷是否存在m的值,使經(jīng)過點C及拋物線與x軸的一個交點的⊙M與y軸的正半軸相切于點D,且被x軸截得的劣弧與是等?若存在,求出所有滿足條件的m的值;若不存在,說明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2004年全國中考數(shù)學(xué)試題匯編《一元二次方程》(05)(解析版) 題型:解答題

(2004•濟寧)閱讀下面材料:
在計算1+4+7+10+13+16+19+22+25+28時,我們發(fā)現(xiàn),從第一個數(shù)開始,以后的每個數(shù)與它的前一個數(shù)的差都是一個相同的定值,具有這種規(guī)律的一列數(shù),求和時,除了直接相加外,我們還可以用公式來計算(公式中的S表示它們的和,n表示數(shù)的個數(shù),a表示第一個數(shù)的值,d表示這個相差的定值).那么S=1+4+7+10+13+16+19+22+25+28==145.
用上面的知識解決下列問題:
我市某鄉(xiāng)鎮(zhèn)具有“中國北方喬木之鄉(xiāng)”的美稱,到2000年底這個鎮(zhèn)已有苗木2萬畝,為增加農(nóng)民收入,這個鎮(zhèn)實施“苗木興鎮(zhèn)”戰(zhàn)略,逐年有計劃地擴種苗木.從2001年起,以后每年又比上一年多種植相同面積的苗木;從2001年起每年賣出成苗木,以后每年又比上一年多賣出相同面積的苗木.下表為2001年、2002年、2003年三年種植苗木與賣出成苗木的面積統(tǒng)計數(shù)據(jù).
年份2001年2002年2003年
每年種植苗木的面積(畝)400050006000
每年賣出成苗木的面積(畝)200025003000
假設(shè)所有苗木的成活率都是100%,問到哪一年年底,這個鎮(zhèn)的苗木面積達到5萬畝?

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2004年山東省濟寧市中考數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

(2004•濟寧)閱讀下面材料:
在計算1+4+7+10+13+16+19+22+25+28時,我們發(fā)現(xiàn),從第一個數(shù)開始,以后的每個數(shù)與它的前一個數(shù)的差都是一個相同的定值,具有這種規(guī)律的一列數(shù),求和時,除了直接相加外,我們還可以用公式來計算(公式中的S表示它們的和,n表示數(shù)的個數(shù),a表示第一個數(shù)的值,d表示這個相差的定值).那么S=1+4+7+10+13+16+19+22+25+28==145.
用上面的知識解決下列問題:
我市某鄉(xiāng)鎮(zhèn)具有“中國北方喬木之鄉(xiāng)”的美稱,到2000年底這個鎮(zhèn)已有苗木2萬畝,為增加農(nóng)民收入,這個鎮(zhèn)實施“苗木興鎮(zhèn)”戰(zhàn)略,逐年有計劃地擴種苗木.從2001年起,以后每年又比上一年多種植相同面積的苗木;從2001年起每年賣出成苗木,以后每年又比上一年多賣出相同面積的苗木.下表為2001年、2002年、2003年三年種植苗木與賣出成苗木的面積統(tǒng)計數(shù)據(jù).
年份2001年2002年2003年
每年種植苗木的面積(畝)400050006000
每年賣出成苗木的面積(畝)200025003000
假設(shè)所有苗木的成活率都是100%,問到哪一年年底,這個鎮(zhèn)的苗木面積達到5萬畝?

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案