Question

如圖，直線AB與兩坐標(biāo)軸分別相交于A、B點(diǎn)，OA=OB=4，點(diǎn)M是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)（A、B兩點(diǎn)除外），過(guò)M分別作MC⊥OA于點(diǎn)C，MD⊥OB于點(diǎn)D．
（1）寫出直線AB的函數(shù)解析式；
（2）設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為x，寫出四邊形OCMD的面積S與x的函數(shù)關(guān)系式，當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形OCMD的面積有最大值？最大值是多少？
（3）探究：當(dāng)四邊形OCMD為正方形時(shí)，將四邊形OCMD沿著x軸的正方向移動(dòng)，設(shè)平移的距離為a（0＜a＜4），正方形OCMD與△AOB重疊部分的面積為S，試求S與a的函數(shù)關(guān)系式，并畫出該函數(shù)的圖象．

Answer 1

解：（1）∵OA=OB=4，
∴點(diǎn)A（4，0）B（0，4），
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，
則，
解得，
所以，直線AB的函數(shù)解析式為y=-x+4；

（2）∵M(jìn)C⊥OA，MD⊥OB，x軸⊥y軸，
∴四邊形OCMD是矩形，
∴DM∥OA，
∴△BDM∽△BOA，
∴=，
即=，
解得OD=4-x，
∴S=x（4-x）=-x²+4x，
所以，S與x的函數(shù)關(guān)系式為：S=-x²+4x（0＜x＜4），
∵S=-x²+4x=-（x²-4x+4）+4=-（x-2）²+4，
∴當(dāng)x=2時(shí)，S有最大值4，
此時(shí)M是AB的中點(diǎn)，
故，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到AB的中點(diǎn)位置時(shí)，四邊形OCMD的面積有最大值4；

（3）如圖，∵直線AB的解析式為y=-x+4，
∴移動(dòng)過(guò)程中正方形被分割出的三角形式等腰直角三角形，
由（2）可得，四邊形OCMD為正方形時(shí)，4-x=x，
解得x=2，
所以，正方形的面積為：2²=4，
①當(dāng)0＜a≤2時(shí)，重疊部分的面積=4-a²，
②當(dāng)2≤a＜4時(shí)，重疊部分的面積=（4-a）（4-a）=（4-a）²，
所以，S與a的函數(shù)關(guān)系式為S=，
函數(shù)圖象如圖．
分析：（1）先寫出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，然后根據(jù)待定系數(shù)法求函數(shù)解析式解答；
（2）根據(jù)矩形的對(duì)邊平行可得DM∥OA，然后證明△BDM與△BOA相似，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式，再用OD表示出BD，求解得到OD的長(zhǎng)度，再根據(jù)矩形的面積公式列式整理，然后根據(jù)二次函數(shù)的最值問(wèn)題求解；
（3）先根據(jù)（2）的結(jié)論求出正方形的邊長(zhǎng)，從而得到正方形的面積，在分①0＜a≤2時(shí)，正方形在△AOB內(nèi)部，重疊部分的面積等于正方形的面積減去右上角小等腰直角三角形的面積，列式整理即可得到S與a的函數(shù)關(guān)系式，②當(dāng)2≤a＜4時(shí)，重疊部分是左下角小等腰直角三角形的面積，然后列式整理即可得到S與a的關(guān)系式，然后根據(jù)取值范圍畫出相應(yīng)的二次函數(shù)圖象即可．
點(diǎn)評(píng)：本題是對(duì)一次函數(shù)的綜合考查，主要利用了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，相似三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，二次函數(shù)的最值問(wèn)題，二次函數(shù)的圖象，綜合性較強(qiáng)，難點(diǎn)較大，（3）要注意分析點(diǎn)的移動(dòng)過(guò)程所形成的重疊部分的面積的表示．