Question

在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A是拋物線y＝x²在第二象限上的點(diǎn)，連接OA，過(guò)點(diǎn)O作OB⊥OA，交拋物線于點(diǎn)B，以OA、OB為邊構(gòu)造矩形AOBC．

(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為_(kāi)_______時(shí)，矩形AOBC是正方形；

(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為－時(shí)，

①求點(diǎn)B的坐標(biāo)；

②將拋物線y＝x²作關(guān)于x軸的軸對(duì)稱(chēng)變換得到拋物線y＝－x²，試判斷拋物線y＝－x²經(jīng)過(guò)平移交換后，能否經(jīng)過(guò)A，B，C三點(diǎn)？如果可以，說(shuō)出變換的過(guò)程；如果不可以，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

答案：
解析：

分析：(1)過(guò)點(diǎn)A作AD⊥x軸于點(diǎn)D，根據(jù)正方形的對(duì)角線平分一組對(duì)角可得∠AOC＝45°，所以∠AOD＝45°，從而得到△AOD是等腰直角三角形，設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)為(－a，a)，然后利用點(diǎn)A在拋物線上，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式計(jì)算即可得解； 　　(2)①過(guò)點(diǎn)A作AE⊥x軸于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥x軸于點(diǎn)F，先利用拋物線解析式求出AE的長(zhǎng)度，然后證明△AEO和△OFB相似，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求出OF與BF的關(guān)系，然后利用點(diǎn)B在拋物線上，設(shè)出點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線解析式計(jì)算即可得解； 　�、谶^(guò)點(diǎn)C作CG⊥BF于點(diǎn)G，可以證明△AEO和△BGC全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得CG＝OE，BG＝AE，然后求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再根據(jù)對(duì)稱(chēng)變換以及平移變換不改變拋物線的形狀利用待定系數(shù)法求出過(guò)點(diǎn)A、B的拋物線解析式，把點(diǎn)C的坐標(biāo)代入所求解析式進(jìn)行驗(yàn)證變換后的解析式是否經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，如果經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，把拋物線解析式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式解析式，根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)寫(xiě)出變換過(guò)程即可． 　　解答：解：(1)答案：－1； 　　如圖，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥x軸于點(diǎn)D， 　　∵矩形AOBC是正方形， 　　∴∠AOC＝45°， 　　∴∠AOD＝90°－45°＝45°， 　　∴△AOD是等腰直角三角形， 　　設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－a，a)(a≠0)， 　　則(－a)2＝a， 　　解得a1＝－1，a2＝0(舍去)， 　　∴點(diǎn)A的坐標(biāo)－a＝－1， 　　(2)①過(guò)點(diǎn)A作AE⊥x軸于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥x軸于點(diǎn)F， 　　當(dāng)x＝－時(shí)，y＝(－)2＝， 　　即OE＝，AE＝， 　　∵∠AOE＋∠BOF＝180°－90°＝90°，21世紀(jì)教育網(wǎng) 　　∠AOE＋∠EAO＝90°， 　　∴∠EAO＝∠BOF， 　　又∵∠AEO＝∠BFO＝90°， 　　∴△AEO∽△OFB， 　　∴＝＝＝， 　　設(shè)OF＝t，則BF＝2t， 　　∴t2＝2t， 　　解得：t1＝0(舍去)，t2＝2， 　　∴點(diǎn)B(2，4)； 　　②過(guò)點(diǎn)C作CG⊥BF于點(diǎn)G， 　　∵∠AOE＋∠EAO＝90°，∠FBO＋∠CBG＝90°，∠AEO＝∠FBO， 　　∴∠EAO＝∠CBG， 　　在△AEO和△BGC中，， 　　∴△AEO≌△BGC(AAS)， 　　∴CG＝OE＝，BG＝AE＝． 　　∴xc＝2－＝，yc＝4＋＝， 　　∴點(diǎn)C(，)， 　　設(shè)過(guò)A(－，)、B(2，4)兩點(diǎn)的拋物線解析式為y＝－x2＋bx＋c，由題意得，， 　　解得， 　　∴經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)的拋物線解析式為y＝－x2＋3x＋2， 　　當(dāng)x＝時(shí)，y＝－()2＋3×＋2＝，所以點(diǎn)C也在此拋物線上， 　　故經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的拋物線解析式為y＝－x2＋3x＋2＝－(x－)2＋． 　　平移方案：先將拋物線y＝－x2向右平移個(gè)單位，再向上平移個(gè)單位得到拋物線y＝－(x－)2＋． 　　點(diǎn)評(píng)：本題是對(duì)二次函數(shù)的綜合考查，包括正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，待定系數(shù)法求拋物線解析式，綜合性較強(qiáng)，難度較大，要注意利用點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)、平移變換來(lái)解釋拋物線的對(duì)稱(chēng)平移變換，利用點(diǎn)研究線也是常用的方法之一．

提示：

二次函數(shù)綜合題．