Question

（1997•山西）如圖，已知△ABC，⊙O₁是它的外接圓，與⊙O₁內(nèi)切于A點的⊙O₂交AB于F，交AC于G，F(xiàn)E⊥BC于E，GH⊥BC于H，AD是△ABC的高，交FG于M，且AD=6，BC=8．
（1）求證：四邊形FEHG是矩形；
（2）設(shè)FE=x，寫出矩形FEHG的面積y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量x的取值范圍；
（3）當(dāng)矩形FEHG的面積是△ABC面積的一半時，兩圓的半徑有什么關(guān)系？并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）要證四邊形FEHG為矩形，已知條件有垂直，只需證明四邊形為平行四邊形，而已知能得出FE與GH平行，只需證FG平行于EH，利用同位角相等兩直線平行來證，即要得到∠AGF=∠C，作出兩圓的公切線，利用弦切角等于所夾弧所對的圓周角即可得證；
（2）要寫出矩形FEHG的面積y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，EF=x，只需用x表示出FG，然后利用矩形的面積公式即可列出；
（3）當(dāng)矩形FEHG的面積是△ABC面積的一半時，可添加半徑，連心線從中找出之間的聯(lián)系，得出半徑間的關(guān)系，證明即可．

解答：（1）證明：過P作兩圓的公切線PQ，如圖所示，
∴∠PAB=∠AGF，∠PAB=∠C，
∴∠AGF=∠C，
∴FG∥BC，
∵FE⊥BC，GH⊥BC，
∴FE∥GH，
∴四邊形FEHG為平行四邊形，
∵∠FEC=90°，
則四邊形FEHG為矩形；
（2）解：∵FG∥BC，
∴△AFG∽△ABC，
∵AD⊥BC，
∴∠AMG=∠ADC=90°，
∵EF=MD，
∴AM=AD-MD=AD-EF，
∴

FG

BC

=

AM

AD

，
∵EF=x，矩形FEHG面積為y，AD=6，BC=8，
∴

FG

8

=

6-x

6

，即FG=

4

3

（6-x），
則y=

4

3

x（6-x）=-

4

3

x²+8x（0＜x＜6）；
（3）解：∵S_△ABC=

1

2

AD•BC=24，矩形FEHG的面積是△ABC面積的一半，
∴-

4

3

x²+8x=

1

2

×24，即（x-3）²=0，
解得：x₁=x₂=3，
即當(dāng)矩形FEHG的面積是△ABC面積的一半時，F(xiàn)E=MD=3，則AM=

1

2

AD，
證明：連接O₂F，O₁B，O₁A，則O₂必然在O₁A上，
∵AO₁=BO₁，∴∠O₁AB=∠O₁BA，
∵AO₂=FO₂，∴∠O₂AB=∠O₂FA，
∴∠O₂FA=∠O₂BA，
∴FO₂∥BO₁，
∴

O2F

O1B

=

AF

AB

=

AM

AD

=

1

2

，
則AM=

1

2

AD．

點評：此題屬于圓綜合題，涉及的知識有：圓周角定理，切線的性質(zhì)，相似是三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行線等分線段定理，是一道綜合性較強(qiáng)的壓軸題．