Question

如圖，在矩形ABCD中，點M在BC上，DM=DA，AE⊥DM，垂足為E．
求證：（1）DE=MC；（2）AM平分∠BAE．

Answer 1

證明：（1）∵ABCD為矩形，
∴∠C=90°，AD∥BC，
∴∠ADE=∠DMC，
又AE⊥DM，得到∠AED=90°，
∴∠C=∠AED=90°，
在△ADE和△DMC中
，
∴△ADE≌△DMC（AAS），
∴DE=MC；

（2）∵ABCD為矩形，
∴AD=BC，∠B=90°，即MB⊥AB，
又AD=DM，
∴BC=DM，
由（1）可知DE=MC，
∴BC-MC=DM-DE，即BM=EM，
又DM⊥AE，MB⊥AB，
∴AM為∠BAE的平分線（在角的內部，到角兩邊距離相等的點在這個角的平分線上）．
分析：（1）要證明DE=MC，把兩條邊放入兩個三角形中，證明兩三角形全等即可，全等方法為：由ABCD為矩形，根據(jù)矩形的內角為直角且得到對邊平行，由平行得到一對內錯角相等，再由已知的AE⊥DM得到一個直角，從而得到一對直角相等，再由已知的DM=DA，利用AAS即可得到三角形ADE與三角形DMC全等，根據(jù)全等三角形的對應邊相等得證；
（2）根據(jù)矩形的對邊相等得到AD=BC，由已知的AD=DM，利用等量代換得到DM=BC，由（1）證明的DE=CM，利用等式的基本性質得到MB=ME，又MB垂直于AD，ME垂直于AE，根據(jù)角平分線定理的逆定理可得證．
點評：此題考查了矩形的性質，全等三角形的判定與性質，以及角平分線的逆定理，第一問要證明兩條線段相等，若這兩條線段在同一個三角形中，一般根據(jù)等角對等邊來證；若這兩條線段可放在兩個三角形中，一般利用全等來證明，第二問利用線段的加減，及等量代換的方法得到點M到∠BAE的兩邊的距離相等，從而利用角平分線逆定理解決問題．