Question

正方形OABC的邊長(zhǎng)為2，把它放在如圖所示的直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)M（t，0）是X軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接BM，在BM的右側(cè)作正方形BMNP；直線DE的解析式為y=2x+b，與X軸交于點(diǎn)D，與Y軸交于點(diǎn)E，當(dāng)三角形PDE為等腰直角三角形時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是________．

Answer 1

（4，4）或（4，2）
分析：過(guò)點(diǎn)P作PF⊥BC交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，根據(jù)同角的余角相等可得∠ABM=∠FBP，然后利用“角角邊”證明△ABM和△FBP全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得BF=AB，PF=AM，然后根據(jù)正方形OABC的邊長(zhǎng)為2以及點(diǎn)M（t，0）表示出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再利用直線DE的解析式求出點(diǎn)D、E的坐標(biāo)，然后分①DE是斜邊時(shí)，利用勾股定理以及兩點(diǎn)間的距離公式分別表示出PD、PE、DE的平方，再根據(jù)等腰直角三角形的三邊關(guān)系，②PD是斜邊時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥y軸于點(diǎn)F，然后利用“角角邊”證明△EDO和△PEF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得EF=DO，PC=EO，然后用b、t表示并求解即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)．
解答：如圖，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥BC交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，
∵四邊形OABC與四邊形BMNP都是正方形，
∴∠ABM+∠MBF=90°，
∠FBP+∠MBF=90°，
∴∠ABM=∠FBP，
在△ABM和△FBP中，，
∴△ABM≌△FBP（AAS），
∴BF=AB，PF=AM，
∵正方形OABC的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)M（t，0），
∴BF=2，PF=t-2，
點(diǎn)P到x軸的距離為t-2+2=t，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，t），
又∵當(dāng)y=0時(shí)，2x+b=0，解得x=-，
當(dāng)x=0時(shí)，y=b，
∴點(diǎn)D（-，0），E（0，b），
①DE是斜邊時(shí)，
PD²=（+4）²+t²，PE²=（b-t）²+4²，DE²=（）²+b²，
∵△PDE是等腰直角三角形，
∴PD²=PE²，且PD²+PE²=DE²，
即（+4）²+t²=（b-t）²+4²，且（+4）²+t²+（b-t）²+4²=（）²+b²，
b²+4b+16+t²=b²-2bt+t²+16，且b²+4b+16+t²+b²-2bt+t²+16=b²+b²，
整理得，b=（t+2）且t²-b（t-2）+16=0，
∴t²-（t+2）（t-2）+16=0，
整理得，t²=16，
解得t₁=4，t₂=-4（舍去），
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（4，4）；
②PD是斜邊時(shí)，∵△PDE是等腰直角三角形，
∴PE⊥DE，且PE=DE，
過(guò)點(diǎn)P作PF⊥y軸于點(diǎn)F，
∵∠DEO+∠PEO=90°，∠DEO+∠EDO=90°，
∴∠PEO=∠EDO，
在△EDO和△PEF中，，
∴△EDO≌△PEF（AAS），
∴EF=DO=，PC=EO=b，
又∵點(diǎn)P（4，t），
∴b=4，b-t=，
解得t==×4=2，
∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（4，2），
此時(shí)點(diǎn)C、F重合，點(diǎn)M、N重合，
綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，4）或（4，2）．
故答案為：（4，4）或（4，2）．
點(diǎn)評(píng)：本題是一次函數(shù)的綜合題型，主要利用了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的求解，勾股定理的應(yīng)用，綜合題但難度不大，要注意分情況討論．