Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D在BC上，BD=DC，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC，垂足為E，⊙O經(jīng)過(guò)A，B，D三點(diǎn)．

（1）求證：AB是⊙O的直徑；

（2）判斷DE與⊙O的位置關(guān)系，并加以證明；

（3）若⊙O的半徑為3，∠BAC=60°，求DE的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）DE與圓O相切；（3）．

【解析】試題分析：（1）連接AD，根據(jù)等腰三角形三線(xiàn)合一性質(zhì)得到AD⊥BC，再根據(jù)90°的圓周角所對(duì)的弦為直徑即可證得AB是⊙O的直徑；（2）DE與圓O相切，理由為：連接OD，利用中位線(xiàn)定理得到OD∥AC，利用兩直線(xiàn)平行內(nèi)錯(cuò)角相等得到∠ODE為直角，再由OD為半徑，即可得證；（3）由AB=AC，且∠BAC=60°，得到DABC為等邊三角形，連接BF，DE為DCBF中位線(xiàn)，求出BF的長(zhǎng)，即可確定出DE的長(zhǎng)．

試題解析：（1）證明：連接AD，∵AB=AC，BD=DC，∴AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∴AB為⊙O的直徑；（2）DE與⊙O相切，理由為：連接OD，∵O、D分別為AB、BC的中點(diǎn)，∴OD為△ABC的中位線(xiàn)，∴OD∥BC，∵DE⊥BC，∴DE⊥OD，∵OD為⊙O的半徑，∴DE與⊙O相切；（3）解：連接BF，∵AB=AC，∠BAC=60°，∴△ABC為等邊三角形，∴AB=AC=BC=6，∵AB為⊙O的直徑，∴∠AFB=∠DEC=90°，∴AF=CF=3，DE∥BF，∵D為BC中點(diǎn)，∴E為CF中點(diǎn)，DE=BF，在Rt△ABF中，∠AFB=90°，AB=6，AF=3，∴BF=，則DE=BF=．