Question

20．如圖，在△ABC中，AB=AC，以AC為直徑的⊙O交BC于點D，過點D作DE⊥AB于點E．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若AC=10，BC=16，求DE的長．

Answer 1

分析 （1）連接OD、AD，由三角形中位線定理可求得OD∥AB，可得OD⊥DE，可得DE為⊙O的切線；
（2）由條件可先求得CD、AD，再利用△BED∽△CDA，可求得DE．

解答 （1）證明：
連接OD、AD，

∵AC為⊙O的直徑，
∴∠ADC=90°，
∵AB=AC，
∴點D是BC的中點，
∵O是AC的中點，
∴OD是△ABC的中位線，
∴OD∥AB，
∴∠ODE=∠BED，
∵DE⊥AB，
∴∠ODE=90°，
∴DE是⊙O的切線；
（2）解：
∵AB=AC，且∠ADC=90°，
∴CD=$\frac{1}{2}$BC=8，∠B=∠C，
∴AD=$\sqrt{A{C}^{2}-C{D}^{2}}$=6，
∵∠BED=∠CDA，
∴△BED∽△CDA，
∴$\frac{DE}{AD}$=$\frac{BD}{AC}$，即$\frac{DE}{6}$=$\frac{8}{10}$，
∴AC=4.8．

點評 本題主要考查切線的判定及相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握切線的判定方法是解題的關(guān)鍵，連接切點和圓心的半徑是常用的輔助線．