Question

如圖，已知弦AB與半徑相等，連接OB，并延長使BC=OB．
（1）問AC與⊙O有什么關(guān)系．并證明你的結(jié)論的正確性．
（2）請你在⊙O上找出一點(diǎn)D，使AD=AC（自己完成作圖，并證明你的結(jié)論）．

Answer 1

分析：（1）連接OA，由OA=OB=AB，BC=OB，可得AB=BC，根據(jù)等邊對等角，即可得∠O=∠OAB，∠C=∠CAB，又由三角形內(nèi)角和定理，可求得∠OAC=90°，即可證得AC是⊙O的切線；
（2）延長BO交⊙O于D，連接AD，則AD即為所求；由OA=OB=AB，可求得∠AOB=60°，繼而可得∠C=30°，又由圓周角定理，求得∠D=30°，然后根據(jù)等角對等邊，即可證得AD=AC．

解答：解：（1）AC是⊙O的切線．
證明：連接OA，
∵OA=OB=AB，
∴∠OBA=∠OAB=∠O，
∵BC=OB，
∴BC=AB，
∴∠C=∠CAB，
∵∠O+∠C+∠OAC=180°，
即∠O+∠OAB+∠CAB+∠C=180°，
∴∠OAC=∠OAB+∠CAB=90°，
即OA⊥AC，
∴AC是⊙O的切線；

（2）延長BO交⊙O于D，連接AD，則AD即為所求．
理由：∵OB=OA=AB，
∴∠AOB=60°，
∵∠OAC=90°，
∴∠C=90°-∠AOB=30°，
∵∠D=

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∠AOB=30°，
∴∠D=∠C，
∴AC=AD．

點(diǎn)評：此題考查了切線的判定與性質(zhì)、圓周角定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識．此題綜合性較強(qiáng)，難度適中，解題的關(guān)鍵是注意準(zhǔn)確作出輔助線，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．