Question

△ABC中，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊為a、b、c，若S_△ABC=30，且a、b是關(guān)于x的方程x²-（c+4）x+4c+8=0的兩根，求tanA+cotA的值．

Answer 1

考點(diǎn)：一元二次方程的應(yīng)用

專(zhuān)題：

分析：由根與系數(shù)的關(guān)系可以得出a+b=c+4，ab=4c+8，通過(guò)變形就可以得出a2+b2=c2，進(jìn)而得出三角形ABC是直角三角形，根據(jù)面積可以先求出c，然后解一個(gè)一元二次方程就可以求出a、b 的值，就可以得出結(jié)論．

解答：解：由題意，得

a+b=c+4① ab=4c+8②

，
由①兩邊平方，得
a²+b²+2ab=c²+8c+16③
由②×2，得
2ab=8c+16④，
由③-④，得
a²+b²=c²．
∴△ABC是直角三角形，且a、b為直角邊，
∴

1

2

ab=30，
∴ab=60．
∴4c+8=60，
解得：c=13．
x²-（13+4）x+4×13+8=0，
解得：x₁=5，x₂=12，
∴

a=5 b=12

或

a=12 b=5

，
∴tanA+cotA=

5

12

+

12

5

=

169

60

．
答：tanA+cotA=

169

60

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系式的運(yùn)用，勾股定理的逆定理的運(yùn)用，一元二次方程的解法的運(yùn)用，直角三角形的面積公式的運(yùn)用及三角函數(shù)值的運(yùn)用，解答時(shí)運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系求出三角形ABC是直角三角形是解答的關(guān)鍵．