Question

如圖，在Rt△ABC中，AC=24cm，BC=7cm，P點在BC上，從B點到C點運動（不包括C點），點P運動的速度為2cm/s；Q點在AC上從C點運動到A點（不包括A點），速度為5cm/s．若點P、Q分別從B、C同時運動，且運動時間記為t秒，請解答下面的問題，并寫出探索的主要過程．
（1）當t為何值時，P、Q兩點的距離為5cm？
（2）當t為何值時，△PCQ的面積為15cm²？
（3）請用配方法說明，點P運動多少時間時，四邊形BPQA的面積最��？最小面積是多少？

Answer 1

解：（1）∵在Rt△ABC中，AC=24cm，BC=7cm，
∴AB=25cm，
設(shè)經(jīng)過ts后，P、Q兩點的距離為5cm，
ts后，PC=7-2t cm，CQ=5t cm，
根據(jù)勾股定理可知PC²+CQ²=PQ²，
代入數(shù)據(jù)（7-2t）²+（5t）²=（5）²；
解得t=1或t=-（不合題意舍去）；

（2）設(shè)經(jīng)過ts后，S_△PCQ的面積為15cm²
ts后，PC=7-2t cm，CQ=5t cm，
S_△PCQ==×（7-2t）×5t=15
解得t₁=2，t₂=1.5，
經(jīng)過2或1.5s后，S_△PCQ的面積為15cm²

（3）設(shè)經(jīng)過ts后，△PCQ的面積最大，則此時四邊形BPQA的面積最小，
ts后，PC=7-2t cm，CQ=5t cm，
S_△PCQ=×PC×CQ=×（7-2t）×5t=×（-2t²+7t）
當t=-時，即t==1.75s時，△PCQ的面積最大，
即S_△PCQ=×PC×CQ=×（7-2×1.75）×5×1.75²=（cm²），
∴四邊形BPQA的面積最小值為：S_△ABC-S_△PCQ最大=×7×24-=（cm²），
當點P運動1.75秒時，四邊形BPQA的面積最小為：cm²．
分析：（1）根據(jù)勾股定理PC²+CQ²=PQ²，便可求出經(jīng)過1s后，P、Q兩點的距離為5cm²
（2）根據(jù)三角形的面積公式S_△PCQ=×PC×CQ便可求出經(jīng)過2或1.5s后，S_△PCQ的面積為15cm²
（3）根據(jù)三角形的面積公式S_△PCQ=×PC×CQ以及二次函數(shù)最值便可求出t=1.75s時△PCQ的面積最大，進而求出四邊形BPQA的面積最小值．
點評：本題主要考查了勾股定理和三角形面積公式的求法以及二次函數(shù)的應(yīng)用，是各地中考的熱點，屬于中檔題．