Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3,15），且過點(diǎn)（－2，10），對稱軸AB交軸于點(diǎn)B，點(diǎn)E是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，以EB為邊在對稱軸右側(cè)作矩形EBCD，使得點(diǎn)D恰好落在拋物線上，點(diǎn)D′是點(diǎn)D關(guān)于直線EC的軸對稱點(diǎn).

（1）求拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)D′恰好落在軸上的點(diǎn)（0，6）時(shí)，求此時(shí)D點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）直線CD′交對稱軸AB于點(diǎn)F,
①當(dāng)點(diǎn)D′在對稱軸AB的左側(cè)時(shí)，且△ED′F∽△CDE，求出DE:DC的值；
②連結(jié)B D′，是否存在點(diǎn)E，使△E D′B為等腰三角形？若存在，請直接寫出BE:BC的值，若不存在請說明理由.

Answer 1

（1）;（2）(8,10); （3）①;②.

試題分析：（1）由已知,應(yīng)用待定系數(shù)法設(shè)頂點(diǎn)式求解;
（2）根據(jù)勾股定理和軸對稱的性質(zhì)列方程組求解;
（3）①由勾股定理和相似三角形的性質(zhì)列式求解;
②由①可知△ED′F≌△CBF時(shí), D′F=BF,從而得出結(jié)論.
試題解析：（1）∵拋物線的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3,15），
∴可設(shè)拋物線的解析式為.
∵拋物線過點(diǎn)（－2，10）, ∴.解得.
∴拋物線的解析式為,即.
（2）設(shè)D(x,ｙ),則E(3, ｙ), DE="x-3," DC=ｙ.
由D′（0，6）,根據(jù)勾股定理,得: D′C=, D′E=,
根據(jù)軸對稱的性質(zhì),有D′C="DC," D′E= DE,即,解得.
∴此時(shí)D點(diǎn)的坐標(biāo)為(8,10).

（3）①易證△ED′F≌△CBF,則D′F=BF.
設(shè)D′C=DC=a,D′E=DE=b,D′F=BF=c,
在Rt△CBF中,由勾股定理,得:CF²=BF²+D′C²,即(D′C- D′F)²=BF²+D′C².
∴,整理,得.
∵△ED′F∽△CDE，∴,即,即,即,即.
∴DE:DC=.
②存在,由①可知BE:BC=.