Question

如圖，E是正方形ABCD中CD邊上的一點，AB=，把△ADE 繞點A旋轉(zhuǎn)后得△ABF，∠EAF的平分線交BC于點G，連接GE．
（1）求證：EG=FG；
（2）若∠DAE=15°，求GE的長；
（3）當點E位于何處時，△ADE與△CGE相似？并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)SAS證△ADE≌△ABF，推出AE=AF，∠DAE=∠BAF，∠F=∠DEA，根據(jù)SAS證△EAG≌△FAG，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)推出即可；
（2）求出∠FAG=45°，∠FAB=15°，求出∠BAG=30°，求出BG，求出CG長，求出∠EGC=60°，求出∠GEC的度數(shù)，即可求出EG；
（3）分為兩種情況：當∠AED=∠GEC或∠AED=∠EGC，根據(jù)相似得出比例式，求出當∠AED=∠EGC時，E和D重合（不存在三角形ADE，舍去），根據(jù)相似得出∠AED=∠AEG=∠GEC=60°，在Rt△ADE中求出DE即可．
解答：（1）證明：
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠DAB=∠ABC=∠D=∠C=90°，AB=BC=AD=CD=，
∵△ADE 繞點A旋轉(zhuǎn)后得△ABF，
∴△ADE≌△ABF，
∴AE=AF，∠DAE=∠FAB，
∵∠BAD=∠DAE+∠EAB=90°，
∴∠EAF=∠FAB+∠EAB=90°，
∵∠ABF=∠D=90°∠BAF=∠DAE，
∴∠FBG=∠ABF+∠ABC=180°，即點F、B、G在同一直線上，
∵AG平分∠EAF，
∴∠EAG=∠FAG，
在△AEG和△AFG中
∵，
∴△AEG≌△AFG（SAS），
∴EG=FG．

（2）解：∵∠FAG=∠EAG=∠EAF=45°，∠BAF=∠DAE=15°，
∴∠BAG=∠FAG-∠BAF=30°，
∴BG=ABtan∠BAG=×=1，
∴CG=BC-BG=-1，
∵△AEG≌△AFG，
∴∠AGE=∠AGB=90°-∠BAG=60°，
∴∠EGC=180°-∠AGE-∠AGB=60°，
∵∠C=90°，
∴∠CEG=30°，
∴EG=2CG=2（-1）=2-2．

（3）解：當DE=1時，△ADE與△CGE相似，
理由是：∵∠D=∠C=90°，
∴當∠AED=∠GEC或∠AED=∠EGC時，△ADE與△CGE相似
∵△ADE≌△ABF，△AEG≌△AFG，
∴∠AED=∠AFG=∠AEG，
當∠AED=∠EGC時，∠EGC=∠AEG，則AE∥GC，此時D與E重合，△ADE不存在；
當∠AED=∠GEC時，∠AED=∠GEC=∠AEG=60°，
∵∠D=90°，
∴∠ADE=30°，
∵AD=，
∴由勾股定理得：DE=1，
∴CE=-1，
∴當DE=1時，△ADE與△CGE相似．
點評：本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，正方形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形等知識點，主要考查學生綜合運用性質(zhì)進行推理的能力，題目綜合性比較強，有一定的難度．