Question

如圖，在△ABC中，∠B=60°，AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線，AD、CE相交于點(diǎn)F，請(qǐng)你判斷并寫出FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系；請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：方法一：在AC上截取AG=AE，連接FG，根據(jù)“邊角邊”證明△AEF和△AGF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠AFE=∠AFG，全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得FE=FG，再根據(jù)角平分線的定義以及三角形的內(nèi)角和定理推出∠2+∠3=60°，從而得到∠AFE=∠CFD=∠AFG=60°，然后根據(jù)平角等于180°推出∠CFG=60°，然后利用“角邊角”證明△CFG和△CFD全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得FG=FD，從而得證；
方法二：過點(diǎn)F分別作FG⊥AB于點(diǎn)G，F(xiàn)H⊥BC于點(diǎn)H，根據(jù)三角形內(nèi)心的性質(zhì)可得FG=FH，再根據(jù)角平分線的定義以及三角形的內(nèi)角和定理推出∠2+∠3=60°，然后根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和證明∠GEF=∠HDF，再利用“角角邊”證明△EGF和△DHF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等即可證明．

解答：解：FE=FD．
理由如下：方法一：如圖1，在AC上截取AG=AE，連接FG，
∵AD是∠BAC的平分線，
∴∠1=∠2，
在△AEF和△AGF中，

AG=AE ∠1=∠2 AF=AF

，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴∠AFE=∠AFG，F(xiàn)E=FG，
∵∠B=60°，
∴∠BAC+∠ACB=180°-60°=120°，
∵AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線，
∴∠2=

1

2

∠BAC，∠3=

1

2

∠ACB，
∴∠2+∠3=

1

2

（∠BAC+∠ACB）=

1

2

×120°=60°，
∴∠AFE=∠CFD=∠AFG=60°．
∴∠CFG=180°-∠AFG-∠CFD=180°-60°-60°=60°，
∴∠CFG=∠CFD，
∵CE是∠BCA的平分線，
∴∠3=∠4，
在△CFG和△CFD中，

∠CFG=∠CFD FC=FC ∠3=∠4

，
∴△CFG≌△CFD（ASA），
∴FG=FD，
∴FE=FD；

方法二：如圖2，過點(diǎn)F分別作FG⊥AB于點(diǎn)G，F(xiàn)H⊥BC于點(diǎn)H，
∵F是△ABC的內(nèi)心，
∴FG=FH，
∵∠B=60°，
∴∠BAC+∠ACB=180°-60°=120°，
∵AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線，
∴∠2=

1

2

∠BAC，∠3=

1

2

∠ACB，
∴∠2+∠3=

1

2

（∠BAC+∠ACB）=

1

2

×120°=60°，
∴∠AFE=∠2+∠3=60°，
∴∠GEF=60°+∠1，
又∵∠HDF=∠B+∠1=60°+∠1，
∴∠GEF=∠HDF，
在△EGF和△DHF中，

∠EGF=∠DHF=90° ∠GEF=∠HDF FG=FH

，
∴△EGF≌△DHF（AAS），
∴FE=FD．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，三角形的內(nèi)角和定理，以及三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，根據(jù)所求角度正好等于60°得到角相等是解題的關(guān)鍵．