Question

如圖，在五邊形A₁A₂A₃A₄A₅中，B₁是A₁對邊A₃A₄的中點，連接A₁B₁，我們稱A₁B₁是這個五邊形的一條中對線．如果五邊形的每條中對線都將五邊形的面積分成相等的兩部分．求證：五邊形的每條邊都有一條對角線和它平行．

Answer 1

證明：取A₁A₅中點B₃，連接A₃B₃、A₁A₃、A₁A₄、A₃A₅，
∵A₃B₁=B₁A₄，
∴S_△A1A3B1=S_△A1B1A4，
又∵四邊形A₁A₂A₃B₁與四邊形A₁B₁A₄A₅的面積相等，
∴S_△A1A2A3=S_△A1A4A5，
同理S_△A1A2A3=S_△A3A4A5，
∴S_△A1A4A5=S_△A3A4A5，
∴△A₃A₄A₅與△A₁A₄A₅邊A₄A₅上的高相等，
∴A₁A₃∥A₄A₅，
同理可證A₁A₂∥A₃A₅，A₂A₃∥A₁A₄，A₃A₄∥A₂A₅，A₅A₁∥A₂A₄．
分析：可以再做五邊形的一條中對線，根據(jù)它們分割成的兩部分的面積相等，都是五邊形的面積的一半，導出兩個等底的三角形的面積相等，從而得到它們的高相等，則得到五邊形的每條邊都有一條對角線和它平行．
點評：此題要能夠根據(jù)面積相等得到兩條直線間的距離相等，從而證明兩條直線平行．