Question

已知二次函數(shù)y=（k²-1）x²-（3k-1）x+2．
（1）二次函數(shù)的頂點在x軸上，求k的值；
（2）若二次函數(shù)與x軸的兩個交點A、B均為整數(shù)點（坐標(biāo)為整數(shù)的點），當(dāng)k為整數(shù)時，求A、B兩點的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)二次函數(shù)的定義及△=0列出不等式組，求出k的值即可；
（2）令（k²-1）x²-（3k-1）x+2=0，設(shè)二次函數(shù)與x軸的兩個交點A、B為x₁，x₂，由于A、B均為整數(shù)點，則x₁，x₂為整數(shù)，
根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系即可求出k的整數(shù)值，代入原方程即可求出A、B兩點的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵二次函數(shù)y=（k²-1）x²-（3k-1）x+2的頂點在x軸上，
∴此函數(shù)的圖象與x軸有一個交點，
∴

k2-1≠0 △=(3k-1)2-8(k2-1)=0

，解得k=3；
（2）令（k²-1）x²-（3k-1）x+2=0，設(shè)二次函數(shù)與x軸的兩個交點A、B為x₁，x₂，
∵A、B均為整數(shù)點，
∴x₁，x₂為整數(shù)，
∴x₁•x₂為整數(shù)，
∵x₁•x₂=

2

k2-1

，
∵k為整數(shù)，
∴k=0，
把k=0代入方程（k²-1）x²-（3k-1）x+2=0得，x²-x-2=0，
解得，x₁=-1，x₂=2．
∴A、B兩點的坐標(biāo)分別為（-1，0）、（2，0）．
故答案為：k=0，A（-1，0）、B（2，0）．

點評：本題考查的是拋物線與x軸的交點，熟知拋物線與x軸的交點與一元二次方程根的關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵．