Question

如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，D為BC的中點(diǎn)，AE⊥AD，AE交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．

（1）求證：△EAB∽△ECA；
（2）△ABE和△ADC是否一定相似？如果相似，加以說(shuō)明；如果不相似，那么增加一個(gè)怎樣的條件，△ABE和△ADC一定相似．

Answer 1

見(jiàn)解析

解析試題分析：（1）由題意，△ABC中，∠BAC=90°，D為BC的中點(diǎn)，可得，BD=CD，AD=CD，所以，∠C=∠DAC，又由AE⊥AD，所以，∠EAB+∠BAD=90°，∠BAD+∠DAC=90°，所以，∠EAB=∠C，即可證得；
（2）由（1）得，∠EAB=∠CAD，所以，當(dāng)∠ABE=∠ADC或AB=BE或∠E=∠C或=時(shí)，△ABE和△ADC一定相似．
證明：（1）∵△ABC中，∠BAC=90°，D為BC的中點(diǎn)，
∴BD=CD，AD=CD，
∴∠C=∠DAC，
又∵AE⊥AD，
∴∠EAB+∠BAD=90°，∠BAD+∠DAC=90°，
∴∠EAB=∠C，
∴△EAB∽△ECA；
（2）由（1）得，∠EAB=∠CAD，
∴當(dāng)∠ABE=∠ADC或AB=BE或∠E=∠C或=時(shí)，△ABE和△ADC一定相似．
考點(diǎn)： 相似三角形的判定．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了相似三角形的判定，掌握兩角法：有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似，是正確解答本題的基礎(chǔ)．