Question

如圖，已知正方形ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于O點(diǎn)，AB=1cm，過B作BG∥AC，過A作AE∥CG，且∠ACG：∠G=5：1，以下結(jié)論：①AE=

3

cm；②四邊形AEGC是菱形；③S_△BDC=S_△AEC；④CE=

1

2

cm；⑤△CFE為等腰三角形，其中正確的有（　�。�

A．①③⑤

B．②③⑤

C．②④⑤

D．①②④

Answer 1

分析：過C作AM垂直于BG，交BG于M，由已知的兩組對(duì)邊平行得到四邊形AECG為平行四邊形，可得一對(duì)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，再由已知的兩角之比，分別求出兩個(gè)角，得到∠ACG為150°，∠G為30°，在直角三角形CGM中，根據(jù)30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半得到CM為CG的一半，又正方形ABCD，得到三角形ABC為等腰直角三角形，O為AC的中點(diǎn)，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到OB等于AC的一半，根據(jù)平行線間的距離相等得到CM=OB，利用等量代換可得AC=CG，利用鄰邊相等的平行四邊形為菱形可得AECG為菱形，故選項(xiàng)②正確；由正方形的邊長(zhǎng)，利用勾股定理求出AC的長(zhǎng)，即為菱形的邊長(zhǎng)，可得AE的長(zhǎng)，對(duì)選項(xiàng)①作出判斷；由正方形ABCD得到四條邊相等，四個(gè)角為直角，可得三角形ABC與三角形BCD全等，可得兩三角形的面積相等，又根據(jù)平行線間的距離相等，得到三角形ABC與三角形AEC中AC邊上的高相等，得到這兩個(gè)三角形的面積公式，等量代換可得三角形BCD與三角形ACE的面積相等，選項(xiàng)③正確；根據(jù)菱形的對(duì)角線平分一組對(duì)角，得到∠CEF的度數(shù)，再由∠CFE為三角形ACF的外角，利用外角性質(zhì)求出∠CFE的度數(shù)，發(fā)現(xiàn)∠CEF=CFE，利用等角對(duì)等邊可得三角形CEF為等腰三角形，選項(xiàng)⑤；假設(shè)CE為

1

2

cm，在直角三角形CMG中，由斜邊CG的長(zhǎng)，利用30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出CM的長(zhǎng)，發(fā)現(xiàn)直角三角形CEM中，斜邊CE小于直角邊CM，矛盾，故假設(shè)錯(cuò)誤，選項(xiàng)④錯(cuò)誤．

解答：解：過C作CM⊥EG于M，
∵BG∥AC，AE∥CG，
∴四邊形AEGC為平行四邊形，
∴∠ACG+∠G=180°，又∠ACG：∠G=5：1，
∴∠G=

1

6

×180°=30°，∠ACG=

5

6

×180°=150°．
在直角三角形CGM中，∠G=30°，
∴CM=

1

2

CG，
又四邊形ABCD為正方形，
∴AC⊥BD，AC與BD互相平分，
在直角三角形ABC中，BO為斜邊AC的中點(diǎn)，
∴BO=

1

2

AC，
∵AC∥BG，
∴CM=OB，
∴CG=AC，
∴四邊形AEGC為菱形，選項(xiàng)②正確；
∵CD=AB，BC=CB，∠BCD=∠ABC=90°，
∴△BDC≌△ABC（SAS），
∴S_△BDC=S_△ABC，
又根據(jù)平行線間的距離相等，底邊都為AC，
∴S_△ABC=S_△ACE，
∴S_△BDC=S_△ACE，選項(xiàng)③正確；
∵△ABC為等腰直角三角形，AB=BC=1cm，
∴根據(jù)勾股定理得：AC=

2

cm，
又四邊形AECG為菱形，∴AE=AC=

2

cm，選項(xiàng)①錯(cuò)誤；
在直角三角形CGM中，∠G=30°，
∴CM=

1

2

CG=

2

2

cm，
若CE=

1

2

cm，

1

2

＜

2

2

，斜邊小于直角邊，矛盾，
則CE≠

1

2

cm，選項(xiàng)④錯(cuò)誤；
∵四邊形AECG為菱形，∠ACG=∠AEG=150°，
∴EC平分∠AEG，即∠AEC=

1

2

∠AEG=75°，
∵∠CFE為△ACF的外角，且∠CAE=∠G=30°，∠ACB=45°，
∴∠CFE=∠CAE+∠ACB=75°，
∴∠AEC=∠CFE=75°，
∴CE=CF，即△CEF為等腰三角形，選項(xiàng)⑤正確，
則正確的選項(xiàng)有②③⑤．
故答案為：②③⑤．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正方形的性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定，三角形的外角性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，以及勾股定理，是一道綜合性較強(qiáng)的題．