Question

如圖，Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，點E在線段AB上，CF⊥CE，CE=CF，EF交AC于G，連接AF．
（1）填空：線段BE、AF的數(shù)量關(guān)系為______，位置關(guān)系為______；
（2）當=時，求證：=2；
（3）若當=n時，=，請直接寫出n的值．

Answer 1

（1）解：∵∠ACB=90°，CF⊥CE，
∴∠ECB=∠ACF．
又AC=BC，CE=CF，
∴△ECB≌△FCA．
∴BE=AF，∠CBE=∠CAF，
又∠CBE+∠CAB=90°，
∴∠CAF+∠CAB=90°，
即BE=AF，BE⊥AF．

（2）證明：作GM⊥AB于M，GN⊥AF于N，
∵△ACF可由△BCE繞點C順時針方向旋轉(zhuǎn)90°而得到，
∴AF=BE，∠CAF=∠CBE=45°．
∴AE=2AF，∠CAF=∠CAB，
∴GM=GN．
∴S_△AEG=2S_△AFG，
∴EG=2GF，
∴=2．

（3）解：由（2），得
當=n時，S_△AEG=nS_△AFG，
則，
∴當n=時，=．
分析：（1）在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，CF⊥CE，可推出∠ECB=∠ACF，且CE=CF，由此可得△ECB≌△FCA，即得BE=AF，∠CBE=∠CAF，且∠CBE+∠CAB=90°，故∠CAF+∠CAB=90°，即BE⊥AF；
（2）作GM⊥AB于M，GN⊥AF于N，可得出GM=GN，從而有S_△AEG=2S_△AFG，即證=2；
（3）根據(jù)（2）的推理過程，知S_△AEG=nS_△AFG，則，即可求得n的值．
點評：此題綜合運用了全等三角形的判定和性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，能夠從特殊推廣到一般發(fā)現(xiàn)規(guī)律．