Question

在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，點O在CB上，且AO平分∠BAC，CO=3（如圖所示），以點O為圓心，r為半徑畫圓．
（1）r取何值時，⊙O與AB相切；
（2）r取何值時，⊙O與AB有兩個公共點；
（3）當⊙O與AB相切時，設切點為D，在BC上是否存在點P，使△APD的面積為△ABC的面積的一半？若存在，求出CP的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）⊙O與AB相切，則r等于圓的半徑；
（2）⊙O與AB有兩個公共點，則OA＞OB；
（3）連接OD，過點P做PH⊥AB于H，根據(jù)PH∥OD，

PH

OD

=

PB

OB

，得到PH=

3

5

（8-x），再根據(jù)S_△APD=

1

2

S_△ABC，就可以求出PC的長．

解答：解：（1）過點D作DO⊥AB于D，
∵∠1=∠2，∠C=90°，
∴OD=OC=3，
故當r=3時，⊙O與AB相切；

（2）在Rt△AOC中，AO=

AC2+OC2

=

62+32

=3

5

，
而OB=BC-OC=8-3=5，
∴OA＞OB
∴當3＜r≤5時，⊙O與AB有兩個公共點；

（3）連接OD，過點P做PH⊥AB于H；
設CP=x，則PB=8-x，
∵D為切點，
∴OD⊥AB，
∴PH∥OD，
∴

PH

OD

=

PB

OB

，

PH

3

=

8-x

5

，
∴PH=

3

5

（8-x），
∵AC⊥OC，
∴AC切⊙O于C，
∴AD=AC=6；
∴S_△APD=

1

2

AD•PH=

1

2

×6×

3

5

（8-x）=

72

5

-

9

5

x；
由題意：S_△APD=

1

2

S_△ABC
∴

72

5

-

9

5

x=

1

2

×

1

2

×6×8
∴x=

4

3

；
故當PC=

4

3

時，存在P點，使S_△APD=

1

2

S_△ABC．

點評：本題主要考查了直線與圓的位置關系的判定方法，可以利用比較半徑與圓心到直線的距離來比較得到．