Question

如圖，直線y=-x+20與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)開(kāi)始在線段AO上以每秒3個(gè)長(zhǎng)度單位的速度向原點(diǎn)O運(yùn)動(dòng). 動(dòng)直線EF從x軸開(kāi)始以每秒1個(gè)長(zhǎng)度單位的速度向上平行移動(dòng)（即EF∥x軸），并且分別與y軸、線段AB交于E、F點(diǎn). 連結(jié)FP，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P與動(dòng)直線EF同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

(1) 當(dāng)t＝1秒時(shí)，求梯形OPFE的面積.

(2) t為何值時(shí)，梯形OPFE的面積最大，最大面積是多少？

(3) 設(shè)t的值分別取t₁、t₂時(shí)(t₁≠t₂)，所對(duì)應(yīng)的三角形分別為△AF₁P₁和△AF₂P₂．試判斷這兩個(gè)三角形是否相似，請(qǐng)證明你的判斷.

Answer 1

設(shè)梯形OPFE的面積為S.

(1) A(20，0)，B(0，20)

∴OA=OB=20，∠A=∠B=45°..

當(dāng)t=1時(shí)，OE=1，AP=3，∴OP=17，EF=BE=19.

∴S=(OP+EF)·OE=18.

(2) OE=t，AP=3t，∴OP=20-3t，EF=BE=20-t.

∴S=(OP+EF)·OE=(20-3t +20-t)·t =-2t²+20t=-2(t-5)²+50.

∴當(dāng)t=5 (在0<t<范圍內(nèi))時(shí)，S_最大值=50.

當(dāng)t=t₁時(shí)，AF₁=t₁，AP₁=3t₁；當(dāng)t=t₂時(shí)，AF₂=t₂，AP₂=3t₂；

∴，又∠A=∠A，∴△AF₁P₁∽△AF₂P₂.