Question

已知△ABC中，AB=AC，D、E是BC邊上的點，將△ABD繞點A旋轉(zhuǎn)，得到△ACD′，連接D′E．
（1）如圖1，當∠BAC=120°，∠DAE=60°時，求證：DE=D′E；
（2）如圖2，當DE=D′E時，∠DAE與∠BAC有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和全等三角形的判定定理SAS證得△DAE≌△D′AE，則由“全等三角形的對應(yīng)邊相等”的性質(zhì)證得結(jié)論；
（2）∠DAE=

1

2

∠BAC．根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和全等三角形的判定定理SSS證得△DAE≌△D′AE，則由“全等三角形的對應(yīng)角相等”的性質(zhì)推知∠DAE=

1

2

∠BAC．

解答：（1）證明：∵△ABD繞點A旋轉(zhuǎn)，得到△ACD′，
∴∠DAD′=∠BAC=120°，AD=AD′．
∵∠DAE=60°，
∴∠EAD′=∠DAD′-∠DAE=120°-60°=60°，
∴∠DAE=∠D′AE．
在△DAE與△D′AE中，

AD=AD′ ∠DAE=∠D′AE AE=AE(公共邊)

，
∴△DAE≌△D′AE（SAS），
∴DE=D′E（全等三角形的對應(yīng)邊相等）；

（2）解：∠DAE=

1

2

∠BAC．理由如下：
∵△ABD繞點A旋轉(zhuǎn)，得到△ACD′，
∴∠DAD′=∠BAC，AD=AD′．
∴在△DAE與△D′AE中，

AD=AD′ DE=D′E AE=AE(公共邊)

，
∴△DAE≌△D′AE（SSS），
∴∠DAE=∠D′AE=

1

2

∠DAD′，
∵∠BAD′=∠BAC，
∴∠DAE=

1

2

∠BAC．

點評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)．旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．