Question

【題目】“凈揚(yáng)”水凈化有限公司用160萬(wàn)元，作為新產(chǎn)品的研發(fā)費(fèi)用，成功研制出了一種市場(chǎng)急需的小型水凈化產(chǎn)品，已于當(dāng)年投入生產(chǎn)并進(jìn)行銷售．已知生產(chǎn)這種小型水凈化產(chǎn)品的成本為4元/件，在銷售過(guò)程中發(fā)現(xiàn)：每年的年銷售量(萬(wàn)件)與銷售價(jià)格x（元/件）的關(guān)系如圖所示，其中AB為反比例函數(shù)圖象的一部分，BC為一次函數(shù)圖象的一部分．設(shè)公司銷售這種水凈化產(chǎn)品的年利潤(rùn)為z（萬(wàn)元）．（注：若上一年盈利，則盈利不計(jì)入下一年的年利潤(rùn)；若上一年虧損，則虧損計(jì)作下一年的成本．）

（1）請(qǐng)求出y（萬(wàn)件）與x（元/件）之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）求出第一年這種水凈化產(chǎn)品的年利潤(rùn)z（萬(wàn)元）與x（元/件）之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出第一年年利潤(rùn)的最大值；

（3）假設(shè)公司的這種水凈化產(chǎn)品第一年恰好按年利潤(rùn)z（萬(wàn)元）取得最大值時(shí)進(jìn)行銷售，現(xiàn)根據(jù)第一年的盈虧情況，決定第二年將這種水凈化產(chǎn)品每件的銷售價(jià)格x（元）定在8元以上（），當(dāng)?shù)诙�年的年利�?rùn)不低于103萬(wàn)元時(shí)，請(qǐng)結(jié)合年利潤(rùn)z（萬(wàn)元）與銷售價(jià)格x（元/件）的函數(shù)示意圖，求銷售價(jià)格x（元/件）的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）當(dāng)4≤x≤8時(shí)，；當(dāng)8＜x≤28時(shí)，；當(dāng)每件的銷售價(jià)格定 為16元時(shí)，第一年的年利潤(rùn)最大為-16萬(wàn)元；（3）當(dāng)11≤x≤21時(shí)，第二年的年利潤(rùn)z不低于103萬(wàn)元．

【解析】

（1）將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)求解即可求出反比例函數(shù)的解析式，再將點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)代入一次函數(shù)求解即可得出一次函數(shù)的解析式；

（2）根據(jù)公式“總利潤(rùn)=單件利潤(rùn)×數(shù)量”即可得出解析式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出答案；

（3）先求出第二年的年利潤(rùn)公式再令年利潤(rùn)等于103，解一元二次方程并結(jié)合圖像性質(zhì)即可得出答案．

解：（1）當(dāng)4≤x≤8，設(shè)y=，將A（4，40）代入

得k=4×40=160，

所以y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：y=，

當(dāng)8＜x≤28時(shí)，設(shè)y=kx+b，

將B（8，20）、C（28，0）代入得

，

解得 ，

∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系為y=-x+28，

∴綜上所述得： ；

（2）當(dāng)4≤x≤8時(shí)，，

∵z隨著x的增大而增大，

∴當(dāng)x=8時(shí)，z最大值為-80，

當(dāng)8＜x≤28時(shí)，

∴當(dāng)x=16時(shí)，z最大值為-16，

∵-80＜-16，

∴當(dāng)每件的銷售價(jià)格定 為16元時(shí)，第一年的年利潤(rùn)最大為-16萬(wàn)元；

（3）∵第一年的年利潤(rùn)為-16萬(wàn)元，

∴-16萬(wàn)元應(yīng)作為第二年的成本，

∴第二年的年利潤(rùn)z=（x-4）（-x+28）-16=，

令z=103，則=103，

解得，

在平面直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出z與x的函數(shù)示意圖如圖，

觀察可知：z≥103時(shí)，11≤x≤21，

∴當(dāng)11≤x≤21時(shí)，第二年的年利潤(rùn)z不低于103萬(wàn)元．